Задание 19 ЕГЭ по математике №00043817

Шаг 1. $a=0$. Система: $x^2+y^2=0$, $y=0$ — одно решение $(0;0)$. Не подходит.

Шаг 2. $a\ne0$. Первое уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{1{,}6|a|}$. Второе — прямая $ax-y-a^2=0$. Прямая и окружность имеют две общие точки, когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса:

$$\dfrac{a^2}{\sqrt{1+a^2}}\lt\sqrt{1{,}6|a|}\iff \dfrac{a^4}{1+a^2}\lt1{,}6|a|.$$

Шаг 3. Обозначим $t=|a|\gt0$ и разделим на $t$:

$$t^3\lt1{,}6(1+t^2)\iff t^3-1{,}6t^2-1{,}6\lt0.$$

Подбором находим корень $t=2$: $8-6{,}4-1{,}6=0$. Делим:

$$t^3-1{,}6t^2-1{,}6=(t-2)\left(t^2+0{,}4t+0{,}8\right).$$

У второго множителя дискриминант $0{,}16-3{,}2\lt0$ — он всегда положителен. Значит, неравенство равносильно $t\lt2$: $0\lt|a|\lt2$.

Проверим $a=1$: окружность $x^2+y^2=1{,}6$, прямая $y=x-1$, расстояние $\dfrac1{\sqrt2}\approx0{,}71\lt\sqrt{1{,}6}\approx1{,}26$ — две точки. При $a=2$: расстояние $\dfrac4{\sqrt5}$, радиус $\sqrt{3{,}2}=\dfrac4{\sqrt5}$ — касание, одно решение.