Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений…

Второе уравнение задаёт окружность, а первое — произведение двух скобок, равное нулю, то есть пару прямых. Значит, работает графический метод: рисуем неподвижную окружность и две прямые, положение которых зависит от параметра, и требуем, чтобы всего общих точек было ровно четыре. Аналитический перебор тут не нужен: всё решается через расстояние от центра окружности до прямой.

Второе уравнение x^{2}+y^{2}=16 — это окружность с центром в начале координат и радиусом R=4.

Первое уравнение — произведение, равное нулю, поэтому оно распадается на два: x+ay=5 и x+ay=5a. Это две прямые с одинаковым набором коэффициентов при x и y, а значит, параллельные друг другу (или совпадающие).

Ключевой факт про прямую и окружность: прямая пересекает окружность в двух точках, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса; касается, если равно; не пересекает, если больше. Четыре различные точки получатся, только если каждая прямая даёт по две точки и при этом прямые не совпадают между собой.

Расстояние от начала координат до прямой x+ay-c=0 равно \dfrac{|c|}{\sqrt{1+a^{2}}} — это формула расстояния от точки до прямой, в которой числитель считается подстановкой координат точки.

Случай 1 — прямая x+ay=5. Условие «две точки»: \dfrac{5}{\sqrt{1+a^{2}}}\lt 4. Умножаем на положительный знаменатель и возводим в квадрат: 25\lt 16(1+a^{2}), то есть 16a^{2}\gt 9 и a^{2}\gt \dfrac{9}{16}. Значит, |a|\gt \dfrac34.

Случай 2 — прямая x+ay=5a. Условие «две точки»: \dfrac{5|a|}{\sqrt{1+a^{2}}}\lt 4, откуда 25a^{2}\lt 16(1+a^{2}), то есть 9a^{2}\lt 16 и a^{2}\lt \dfrac{16}{9}. Значит, |a|\lt \dfrac43.

Случай 3 — прямые совпадают. Это происходит, когда равны их правые части: 5=5a, то есть a=1. Тогда все точки пересечения считаются дважды, и различных решений будет всего два, а не четыре, — такое значение надо выколоть.

Собираем всё вместе: \dfrac34\lt |a|\lt \dfrac43 и a\ne 1.

Проверим себя на a=-1: прямые превращаются в x-y=5 и x-y=-5; расстояния от центра до них равны \dfrac{5}{\sqrt{2}}\approx 3{,}54\lt 4, значит, каждая даёт по две точки, всего четыре — сходится.