Задание 19 ЕГЭ по математике №00028813

Второе уравнение задаёт окружность, а первое — произведение двух скобок, равное нулю, то есть пару прямых. Значит, работает графический метод: рисуем неподвижную окружность и две прямые, положение которых зависит от параметра, и требуем, чтобы всего общих точек было ровно четыре. Аналитический перебор тут не нужен: всё решается через расстояние от центра окружности до прямой.

Второе уравнение $x^{2}+y^{2}=16$ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $R=4$.

Первое уравнение — произведение, равное нулю, поэтому оно распадается на два: $x+ay=5$ и $x+ay=5a$. Это две прямые с одинаковым набором коэффициентов при $x$ и $y$, а значит, параллельные друг другу (или совпадающие).

Ключевой факт про прямую и окружность: прямая пересекает окружность в двух точках, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса; касается, если равно; не пересекает, если больше. Четыре различные точки получатся, только если каждая прямая даёт по две точки и при этом прямые не совпадают между собой.

Расстояние от начала координат до прямой $x+ay-c=0$ равно $\dfrac{|c|}{\sqrt{1+a^{2}}}$ — это формула расстояния от точки до прямой, в которой числитель считается подстановкой координат точки.

Случай 1 — прямая $x+ay=5$. Условие «две точки»: $\dfrac{5}{\sqrt{1+a^{2}}}\lt 4$. Умножаем на положительный знаменатель и возводим в квадрат: $25\lt 16(1+a^{2})$, то есть $16a^{2}\gt 9$ и $a^{2}\gt \dfrac{9}{16}$. Значит, $|a|\gt \dfrac34$.

Случай 2 — прямая $x+ay=5a$. Условие «две точки»: $\dfrac{5|a|}{\sqrt{1+a^{2}}}\lt 4$, откуда $25a^{2}\lt 16(1+a^{2})$, то есть $9a^{2}\lt 16$ и $a^{2}\lt \dfrac{16}{9}$. Значит, $|a|\lt \dfrac43$.

Случай 3 — прямые совпадают. Это происходит, когда равны их правые части: $5=5a$, то есть $a=1$. Тогда все точки пересечения считаются дважды, и различных решений будет всего два, а не четыре, — такое значение надо выколоть.

Собираем всё вместе: $\dfrac34\lt |a|\lt \dfrac43$ и $a\ne 1$.

Проверим себя на $a=-1$: прямые превращаются в $x-y=5$ и $x-y=-5$; расстояния от центра до них равны $\dfrac{5}{\sqrt{2}}\approx 3{,}54\lt 4$, значит, каждая даёт по две точки, всего четыре — сходится.