Задание 19 ЕГЭ по математике №00043810

Здесь первое уравнение — окружность с центром в фиксированной точке и радиусом, зависящим от $a$, а второе — набор лучей. Будем увеличивать радиус и следить, сколько лучей окружность пересекает и сколько раз.

Шаг 1. Окружность. Раскроем скобки:

$$x^2-12x+36+y^2+12y+36+2x+2y+2=(0{,}5-a)^2\iff (x-5)^2+(y+7)^2=(a-0{,}5)^2.$$

Центр $Q(5;-7)$, радиус $\rho=|a-0{,}5|$ (при $a=0{,}5$ — точка $Q$, она второму уравнению не удовлетворяет).

Шаг 2. Лучи. $|x+2|=3+2|y-0{,}5|$ — два уголка:

— правый ($x\ge-2$): $x=1+2|y-0{,}5|$, вершина $V_1(1;0{,}5)$, лучи $x-2y=0$ ($y\ge0{,}5$) и $x+2y-2=0$ ($y\le0{,}5$);

— левый ($x\lt-2$): $x=-5-2|y-0{,}5|$, вершина $V_2(-5;0{,}5)$, лучи $x+2y+4=0$ ($y\ge0{,}5$) и $x-2y+6=0$ ($y\le0{,}5$).

Шаг 3. Расстояния от $Q$.

Правый верхний луч: расстояние до прямой $\dfrac{|5+14|}{\sqrt5}=\dfrac{19}{\sqrt5}=3{,}8\sqrt5$, основание $(1{,}2;0{,}6)$ — на луче. Правый нижний: $\dfrac{|5-14-2|}{\sqrt5}=\dfrac{11}{\sqrt5}$, основание $(7{,}2;-2{,}6)$ — на луче. $QV_1=\sqrt{16+56{,}25}=8{,}5$.

Левые лучи: основания перпендикуляров $(6;-5)$ и $(0;3)$ на лучи не попадают, ближайшая точка — вершина, $QV_2=\sqrt{100+56{,}25}=12{,}5$; вдоль луча расстояние растёт.

Шаг 4. Таблица. Пороги: $\dfrac{11}{\sqrt5}\approx4{,}92$, $\dfrac{19}{\sqrt5}\approx8{,}497$, $8{,}5$, $12{,}5$. Сравним два близких порога квадратами: $\dfrac{361}{5}=72{,}2\lt72{,}25$ — то есть $\dfrac{19}{\sqrt5}\lt8{,}5$, и между ними есть промежуток.

— $\rho\lt\dfrac{11}{\sqrt5}$: $0$; $=$: $1$; $\left(\dfrac{11}{\sqrt5};\dfrac{19}{\sqrt5}\right)$: $2$ (на правом нижнем луче);

— $\rho=\dfrac{19}{\sqrt5}$: $3$; $\left(\dfrac{19}{\sqrt5};8{,}5\right)$: $4$; $\rho=8{,}5$: $3$ (вершина $V_1$ общая);

— $(8{,}5;12{,}5)$: $2$; $\rho=12{,}5$: $3$; $\rho\gt12{,}5$: $4$.

Ровно четыре решения: $3{,}8\sqrt5\lt\rho\lt8{,}5$ или $\rho\gt12{,}5$.

Шаг 5. Переход к $a$. $\rho=|a-0{,}5|$:

— $|a-0{,}5|\gt12{,}5$: $a\lt-12$ или $a\gt13$;

— $3{,}8\sqrt5\lt|a-0{,}5|\lt8{,}5$: $0{,}5+3{,}8\sqrt5\lt a\lt9$ или $-8\lt a\lt0{,}5-3{,}8\sqrt5$.

Проверка: при очень большом радиусе окружность пересекает каждый из четырёх лучей ровно один раз — четыре решения, как и в таблице.