Задание 19 ЕГЭ по математике №00043809

Шаг 1. Окружность. Раскроем скобки в первом уравнении:

$$x^2+8x+16+y^2-8y+16+4x+4+4y+4=0{,}1a^2\iff (x+6)^2+(y-2)^2=0{,}1a^2.$$

Окружность с центром $Q(-6;2)$ и радиусом $\rho=\dfrac{|a|}{\sqrt{10}}$ (при $a=0$ — точка $Q$, она второму уравнению не удовлетворяет).

Шаг 2. Лучи. Второе уравнение: $|2x-3|=5+|y-4|$. Это четыре луча, выходящих из двух вершин:

— при $2x-3\ge0$: $x=4+\dfrac{|y-4|}{2}$ — «уголок» с вершиной $V_2(4;4)$, лучи $2x-y-4=0$ ($y\ge4$) и $2x+y-12=0$ ($y\le4$);

— при $2x-3\lt0$: $x=-1-\dfrac{|y-4|}{2}$ — уголок с вершиной $V_1(-1;4)$, лучи $2x+y-2=0$ ($y\ge4$) и $2x-y+6=0$ ($y\le4$).

Шаг 3. Расстояния от $Q$.

Левый верхний луч: расстояние до прямой $\dfrac{|-12+2-2|}{\sqrt5}=\dfrac{12}{\sqrt5}$, основание перпендикуляра $(-1{,}2;4{,}4)$ — на луче ($y\ge4$). Левый нижний: $\dfrac{|-12-2+6|}{\sqrt5}=\dfrac{8}{\sqrt5}$, основание $(-2{,}8;0{,}4)$ — на луче. До вершины $V_1$: $\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$.

На каждом левом луче расстояние от $Q$ при движении от вершины сначала убывает до расстояния до прямой, потом растёт до бесконечности. Поэтому окружность радиуса $\rho$ пересекает такой луч: ни разу, если $\rho$ меньше расстояния до прямой; один раз — при равенстве; дважды — если $\rho$ между расстоянием до прямой и $\sqrt{29}$ (при $\rho=\sqrt{29}$ одна из точек — вершина); один раз — при $\rho\gt\sqrt{29}$.

Правые лучи: основания перпендикуляров $(1{,}2;-1{,}6)$ и $(2{,}8;6{,}4)$ на лучи не попадают, поэтому ближайшая точка каждого — вершина $V_2$, $QV_2=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}$, и вдоль луча расстояние только растёт. Каждый правый луч даёт одну точку при $\rho\gt\sqrt{104}$, общую вершину при $\rho=\sqrt{104}$.

Шаг 4. Таблица. Пороги по возрастанию: $\dfrac{8}{\sqrt5}\approx3{,}58$, $\dfrac{12}{\sqrt5}\approx5{,}367$, $\sqrt{29}\approx5{,}385$, $\sqrt{104}\approx10{,}2$ (сравниваем квадраты: $\dfrac{144}{5}=28{,}8\lt29$).

— $\rho\lt\dfrac{8}{\sqrt5}$: $0$; $\rho=\dfrac8{\sqrt5}$: $1$; $\dfrac8{\sqrt5}\lt\rho\lt\dfrac{12}{\sqrt5}$: $2$;

— $\rho=\dfrac{12}{\sqrt5}$: $3$; $\dfrac{12}{\sqrt5}\lt\rho\lt\sqrt{29}$: $4$; $\rho=\sqrt{29}$: $3$ (вершина $V_1$ общая для двух лучей);

— $\sqrt{29}\lt\rho\lt\sqrt{104}$: $1+1=2$; $\rho=\sqrt{104}$: $3$; $\rho\gt\sqrt{104}$: $4$.

Ровно два решения: $\dfrac{8}{\sqrt5}\lt\rho\lt\dfrac{12}{\sqrt5}$ или $\sqrt{29}\lt\rho\lt\sqrt{104}$.

Шаг 5. Переход к $a$. $|a|=\rho\sqrt{10}$: $8\sqrt2\lt|a|\lt12\sqrt2$ или $\sqrt{290}\lt|a|\lt\sqrt{1040}=4\sqrt{65}$. Каждое значение $|a|$ даёт два значения $a$.

Проверим $|a|=20$: $\rho=\sqrt{40}\approx6{,}32$ — между $\sqrt{29}$ и $\sqrt{104}$, по одной точке на левых лучах, правые не достаются. Два решения.