Задание 19 ЕГЭ по математике №00043808

Здесь в системе модули и корень. Удобнее всего выразить из второго уравнения $x$ через $y$: тогда каждому допустимому $y$ отвечает ровно одно $x$, и задача сводится к одному уравнению с одной переменной $y$.

Шаг 1. Второе уравнение $x-4=\sqrt{9-y}$ равносильно $x=4+\sqrt{9-y}$ при $y\le9$. Каждому $y\le9$ отвечает ровно одно $x$, причём $x\ge4\gt0$, поэтому $|x|=x$.

Шаг 2. Подставим в первое уравнение:

$$h(y)=|y|-\sqrt{9-y}-4=a,\qquad y\le9.$$

Число решений системы равно числу корней этого уравнения.

Шаг 3. Таблица поведения.

— $0\le y\le9$: $h(y)=y-\sqrt{9-y}-4$. Слагаемое $y$ растёт, а $\sqrt{9-y}$ убывает, поэтому $-\sqrt{9-y}$ растёт, и $h$ возрастает: $h(0)=0-3-4=-7$, $h(9)=9-0-4=5$.

— $y\le0$: $h(y)=-y-\sqrt{9-y}-4$. Обозначим $s=\sqrt{9-y}$; при $y\le0$ имеем $s\ge3$, и $-y=s^2-9$. Тогда $h=s^2-s-13$ — парабола с вершиной в $s=0{,}5$, левее луча $s\ge3$, поэтому она возрастает по $s$. А $s$ растёт, когда $y$ уменьшается. Значит, при движении $y$ от $0$ к $-\infty$ значение $h$ растёт от $h(0)=-7$ до $+\infty$; при движении $y$ вправо, к нулю, оно убывает. Направление здесь легко перепутать: по $s$ функция растёт, а по $y$ на этом луче — убывает.

Шаг 4. Уравнение $h(y)=a$:

— на $[0;9]$ решение есть при $-7\le a\le5$, и оно одно;

— на $(-\infty;0)$ решение есть при $a\gt-7$, и оно одно.

Значение $a=-7$ даёт только $y=0$ — одно решение. При $-7\lt a\le5$ решений два, при $a\gt5$ — одно.

Ровно два решения при $-7\lt a\le5$.

Проверим $a=0$. На $[0;9]$: $\sqrt{9-y}=y-4$, $y\ge4$, $9-y=y^2-8y+16$, $y^2-7y+7=0$, $y=\dfrac{7+\sqrt{21}}{2}\approx5{,}79$. При $y\lt0$: $s^2-s-13=0$, $s=\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\approx4{,}14$, $y=9-s^2\approx-8{,}14$. Два решения. При $a=5$: $y=9$, $x=4$ ($|9|-|4|=5$ — верно) и ещё одно решение с $y\lt0$.