Задание 19 ЕГЭ по математике №00043807

Шаг 1. Второе уравнение: $x-1=\sqrt{y+4}$. Оно равносильно условиям $x\ge1$ и $y+4=(x-1)^2$, то есть $y=(x-1)^2-4$. Каждому $x\ge1$ отвечает ровно одно $y$, поэтому число решений системы равно числу подходящих $x$.

Шаг 2. При $x\ge1$ имеем $|x|=x$. Первое уравнение превращается в

$$x-\left|(x-1)^2-4\right|=a.$$

Выражение $(x-1)^2-4$ неотрицательно при $x\ge3$ и отрицательно при $1\le x\lt3$.

Шаг 3. График левой части $h(x)$.

— $1\le x\le3$: $h(x)=x+(x-1)^2-4=x^2-x-3$. Вершина параболы в $x=0{,}5$, левее отрезка, поэтому на $[1;3]$ функция возрастает: от $h(1)=-3$ до $h(3)=3$.

— $x\ge3$: $h(x)=x-(x-1)^2+4=-x^2+3x+3$. Вершина в $x=1{,}5$, левее луча, поэтому функция убывает от $h(3)=3$ до $-\infty$.

Шаг 4. Горизонталь $y=a$.

— $a\gt3$: пересечений нет;

— $a=3$: одно ($x=3$);

— $-3\le a\lt3$: одно на возрастающем участке (при $a=-3$ — точка $x=1$) и одно на убывающем — два;

— $a\lt-3$: только на убывающем — одно.

Ровно два решения при $-3\le a\lt3$.

Проверим $a=0$: на $[1;3]$ $x^2-x-3=0$, $x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\approx2{,}30$; при $x\ge3$ $x^2-3x-3=0$, $x=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}\approx3{,}79$. Два решения. И при $a=-3$: $x=1$ ($y=-4$, $|1|-|-4|=-3$ — верно) и второй корень $x=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}$.