Задание 19 ЕГЭ по математике №00043805

Здесь первое уравнение — окружность, а второе — две гиперболы $xy=\pm a^2$. Будем считать общие точки по ветвям: какие ветви окружность пересекает всегда, а до какой ей нужно «дотянуться», чтобы решений стало семь.

Шаг 1. Перенесём $2(ax-ay+xy)$ влево и раскроем $(x+y)^2$: слагаемые $2xy$ взаимно уничтожаются, остаётся

$$x^2+y^2-2ax+2ay=(4a+9)^2-9.$$

Полные квадраты: $(x-a)^2+(y+a)^2=(4a+9)^2-9+2a^2=18a^2+72a+72=18(a+2)^2$.

Окружность с центром $Q(a;-a)$ и радиусом $\rho=3\sqrt2\,|a+2|$; второе уравнение — гиперболы $xy=a^2$ и $xy=-a^2$.

Шаг 2. Особые значения. $a=0$: оси координат и окружность $x^2+y^2=72$ — четыре решения. $a=-2$: окружность — точка $(-2;2)$, она на $xy=-4$ — одно решение. Не подходят.

Шаг 3. При $a\ne0$ центр $Q(a;-a)$ лежит на одной из ветвей гиперболы $xy=-a^2$ (при $a\gt0$ — в четвёртой четверти, при $a\lt0$ — во второй). Эту ветвь окружность пересекает по обе стороны от центра: расстояние вдоль ветви растёт от нуля до бесконечности в обе стороны. Картинка симметрична относительно прямой $y=-x$, и это пересечение даёт ровно две точки.

Гиперболу $xy=a^2$ окружность пересекает в четырёх точках, как только радиус больше расстояния $2|a|$ от $Q$ до ближайших точек $(a;a)$ и $(-a;-a)$ этих ветвей (больше четырёх точек с одной гиперболой не бывает — уравнение четвёртой степени).

Седьмое решение может дать только точка на оси симметрии $y=-x$, не совпадающая с центром: точка $(-a;a)$ на «чужой» ветви $xy=-a^2$. Расстояние до неё $2\sqrt2|a|$, и это наименьшее расстояние от $Q$ до этой ветви (для точки $\left(-at;\dfrac at\right)$, $t\gt0$, квадрат расстояния до $Q$ равен $a^2\left((t+1)^2+\left(1+\dfrac1t\right)^2\right)$, и он наименьший при $t=1$). Поэтому решений не меньше семи ровно тогда, когда $\rho\ge2\sqrt2|a|$ (тогда и $\rho\gt2|a|$, и на гиперболе $xy=a^2$ четыре точки):

$$18(a+2)^2\ge8a^2\iff 3|a+2|\ge2|a|.$$

Шаг 4. Решаем неравенство.

— $a\gt0$: $3a+6\ge2a$ — всегда.

— $-2\le a\lt0$: $3a+6\ge-2a\iff a\ge-1{,}2$.

— $a\lt-2$: $-3a-6\ge-2a\iff a\le-6$.

С учётом $a\ne0$: $a\le-6$, $-1{,}2\le a\lt0$, $a\gt0$.

Проверим $a=-6$: центр $Q(-6;6)$, $\rho=3\sqrt2\cdot4=12\sqrt2$; «чужая» точка $(-a;a)=(6;-6)$ удалена от $Q$ на $\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt2$ — окружность проходит через неё, решений семь. При $a=-3$: $\rho=3\sqrt2$, а расстояние до точки $(3;-3)$ равно $6\sqrt2$ — седьмого решения нет. Сходится.