Задание 19 ЕГЭ по математике №00043804

Здесь первое уравнение — окружность, второе — две гиперболы. Решения системы — их общие точки, и нужно понять, когда этих точек набирается хотя бы семь. Помогут симметрия картинки и расстояния от центра окружности до гипербол.

Шаг 1. Окружность. Заметим, что $(x-y)^2+2xy=x^2+y^2$. Первое уравнение:

$$x^2+y^2+2ax-2ay=(3a-8)^2+a^2-16.$$

Выделим полные квадраты: $(x+a)^2+(y-a)^2=(3a-8)^2+3a^2-16=12a^2-48a+48=12(a-2)^2$.

Это окружность с центром $Q(-a;a)$ и радиусом $\rho=2\sqrt3\,|a-2|$ (при $a=2$ — точка). Второе уравнение $|xy|=a^2$ — две гиперболы $xy=a^2$ и $xy=-a^2$.

Шаг 2. Особые $a$. При $a=0$: $|xy|=0$ — оси координат, окружность $x^2+y^2=48$ пересекает их в четырёх точках. При $a=2$: окружность — точка $(-2;2)$, она лежит на $xy=-4$ — одно решение. Оба значения не подходят.

Шаг 3. Симметрия. Пусть $a\ne0$, $a\ne2$. Отражение $(x;y)\to(-y;-x)$ относительно прямой $y=-x$ сохраняет $xy$ и центр $Q$ (он на этой прямой), то есть переводит систему в себя. Решения разбиваются на пары, кроме лежащих на прямой $y=-x$. На ней гиперболы содержат только точки $(a;-a)$ и $(-a;a)$; вторая — центр $Q$, на окружности её нет. Значит, нечётное число решений бывает, только если $(a;-a)$ на окружности.

Шаг 4. Подсчёт для $a\gt0$. Центр $Q(-a;a)$ лежит на ветви гиперболы $xy=-a^2$ во второй четверти.

Окружность пересекается с каждой гиперболой не более чем в четырёх точках: после подстановки $y=\dfrac sx$ получается уравнение четвёртой степени.

— Ветвь с центром: её точки $\left(-at;\dfrac at\right)$, $t\gt0$, центр — при $t=1$. Квадрат расстояния до $Q$ равен $a^2\left((t-1)^2+\left(\dfrac1t-1\right)^2\right)=a^2(t-1)^2\left(1+\dfrac1{t^2}\right)$. При $t\gt1$ с ростом $t$ растут оба множителя, при $t\lt1$ с уменьшением $t$ тоже растут оба. Значит, по каждую сторону от $Q$ расстояние строго растёт от $0$ до бесконечности, и окружность пересекает эту ветвь ровно в двух точках.

— Другая ветвь $xy=-a^2$ (четвёртая четверть). Рассмотрим область $G$: точки с $x\gt0$ и $y\le-\dfrac{a^2}{x}$. Она выпуклая: функция $-\dfrac{a^2}{x}$ при $x\gt0$ выпукла вверх, а область под графиком такой функции вместе с любыми двумя точками содержит и отрезок между ними. Центр $Q$ лежит во второй четверти, вне $G$. У выпуклой замкнутой области ближайшая к внешней точке точка единственна (если бы их было две, середина отрезка между ними тоже лежала бы в $G$ и была бы ближе). Эта точка лежит на границе $G$, то есть на нашей ветви.

Отражение относительно прямой $y=-x$ переводит $G$ в себя и не двигает $Q$. Значит, оно переводит ближайшую точку в ближайшую, а она одна — поэтому лежит на прямой $y=-x$. Это точка $(a;-a)$, и квадрат расстояния до неё $(2a)^2+(2a)^2=8a^2$. Итак, все точки второй ветви удалены от $Q$ не меньше чем на $\sqrt{8a^2}$, и равенство — только в $(a;-a)$.

— Гипербола $xy=a^2$: точка $(a;a)$ на ней удалена от $Q$ на $2a$, и $4a^2\lt8a^2$. На каждой её ветви расстояние до $Q$ меняется от бесконечности через значения не больше $2a$ (для ветви в третьей четверти — точка $(-a;-a)$, тоже на расстоянии $2a$) до бесконечности.

Если $\rho^2\lt8a^2$: на второй ветви $xy=-a^2$ точек нет — всего не больше $2+4=6$.

Если $\rho^2\ge8a^2$ (тогда и $\rho\gt2a$): на гиперболе $xy=a^2$ — по две точки на каждой ветви (не меньше двух на ветви и не больше четырёх всего), то есть $4$. На гиперболе $xy=-a^2$: на ветви с центром всегда ровно $2$ точки, а на второй ветви при $\rho^2=8a^2$ ровно одна точка $(a;-a)$; всего $7$. При $\rho^2\gt8a^2$ — по две на каждой ветви, всего $8$.

Условие $\rho^2\ge8a^2$: $12(a-2)^2\ge8a^2\iff a^2-12a+12\ge0\iff a\le6-2\sqrt6$ или $a\ge6+2\sqrt6$.

Шаг 5. $a\lt0$. Центр $Q(-a;a)=(|a|;-|a|)$ лежит на ветви $xy=-a^2$ в четвёртой четверти, рассуждение то же (точка $(a;-a)$ теперь во второй четверти). Условие $12(a-2)^2\ge8a^2$ при $a\lt0$ выполнено всегда: $a^2-12a+12\gt0$.

Итого: $a\lt0$, $0\lt a\le6-2\sqrt6$, $a\ge6+2\sqrt6$.

Проверим $a=1$: $\rho^2=12$, $8a^2=8$ — окружность охватывает точку $(1;-1)$, решений восемь. При $a=3$: $\rho^2=12\lt72$ — не больше шести. Сходится с ответом ($6-2\sqrt6\approx1{,}10$).