Задание 19 ЕГЭ по математике №00043801

Здесь первое уравнение задаёт сразу несколько линий: оно распадается на множители. Решения системы — точки, где прямая из второго уравнения пересекает эти линии. Нужно аккуратно посчитать, сколько из этих точек различны.

Шаг 1. Обозначим $u=(x+a)^2$, $v=y^2$. Первое уравнение: $u^2-v^2-0{,}5a^2(u-v)=0$. Разность квадратов $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, поэтому вынесем общий множитель $u-v$: $(u-v)\left(u+v-0{,}5a^2\right)=0$. Вернёмся к $x$ и $y$:

$$\left((x+a)^2-y^2\right)\left((x+a)^2+y^2-0{,}5a^2\right)=0.$$

Это две прямые $y=x+a$ и $y=-x-a$, пересекающиеся в точке $Q(-a;0)$, и окружность с центром $Q$ радиуса $\dfrac{a}{\sqrt2}$ ($a\gt0$). Второе уравнение — прямая $\ell$: $y=ax+\dfrac a2$.

Шаг 2. Окружность. Расстояние от $Q$ до $\ell$ (запишем $\ell$ как $ax-y+\dfrac a2=0$):

$$d=\dfrac{\left|-a^2+\frac a2\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a\left|\frac12-a\right|}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Две общие точки, если $d\lt\dfrac{a}{\sqrt2}$, то есть $2\left(a-\dfrac12\right)^2\lt1+a^2\iff a^2-2a-\dfrac12\lt0\iff 1-\dfrac{\sqrt6}{2}\lt a\lt1+\dfrac{\sqrt6}{2}$. При $a\gt0$: $0\lt a\lt1+\dfrac{\sqrt6}{2}$. При больших $a$ точек на окружности меньше двух — и четырёх решений быть не может.

Шаг 3. Прямые. $\ell$ и $y=x+a$: $(a-1)x=\dfrac a2$, при $a\ne1$ одна точка, при $a=1$ прямые параллельны — нет точки. $\ell$ и $y=-x-a$: $(a+1)x=-\dfrac{3a}{2}$ — всегда одна точка. Эти две точки совпадают, только если обе равны $Q$, то есть $\ell$ проходит через центр: $0=-a^2+\dfrac a2$, $a=\dfrac12$.

Шаг 4. Совпадения точек прямых и окружности. Окружность высекает на прямых точки на расстоянии $\dfrac{a}{\sqrt2}$ от $Q$: на $y=x+a$ это $\left(-\dfrac a2;\dfrac a2\right)$ и $\left(-\dfrac{3a}{2};-\dfrac a2\right)$, на $y=-x-a$ — $\left(-\dfrac a2;-\dfrac a2\right)$ и $\left(-\dfrac{3a}{2};\dfrac a2\right)$. Подставим в $\ell$:

— $\left(-\dfrac a2;\dfrac a2\right)$: $\dfrac a2=-\dfrac{a^2}{2}+\dfrac a2$, $a=0$;

— $\left(-\dfrac{3a}{2};-\dfrac a2\right)$: $-\dfrac a2=-\dfrac{3a^2}{2}+\dfrac a2$, $a=\dfrac23$;

— $\left(-\dfrac a2;-\dfrac a2\right)$: $-\dfrac a2=-\dfrac{a^2}{2}+\dfrac a2$, $a=2$;

— $\left(-\dfrac{3a}{2};\dfrac a2\right)$: $a=0$.

Шаг 5. Итог. На промежутке $0\lt a\lt1+\dfrac{\sqrt6}{2}$ обычно четыре различные точки: две на окружности и по одной на прямых. Одна точка теряется при $a=\dfrac12$ (точки на прямых сливаются в центре), $a=\dfrac23$ и $a=2$ (точка прямой лежит на окружности), $a=1$ (параллельность). В этих случаях решений три.

Проверим $a=1{,}5$: $\ell$: $y=1{,}5x+0{,}75$; с $y=x+1{,}5$: $x=1{,}5$; с $y=-x-1{,}5$: $x=-0{,}9$; окружность $(x+1{,}5)^2+y^2=1{,}125$ даёт $3{,}25x^2+5{,}25x+1{,}6875=0$, $D=27{,}56-21{,}94\gt0$ — две точки, все четыре различны.