Задание 19 ЕГЭ по математике №00043800

Шаг 1. Разложение. Обозначим $u=x^2$, $v=(y+a)^2$. Первое уравнение:

$$u^2-v^2-0{,}5a^2(u-v)=(u-v)(u+v)-0{,}5a^2(u-v)=(u-v)\left(u+v-0{,}5a^2\right)=0.$$

Значит, $x^2=(y+a)^2$ (две прямые $y+a=x$ и $y+a=-x$) или $x^2+(y+a)^2=\dfrac{a^2}{2}$ (окружность с центром $(0;-a)$ радиуса $\dfrac{|a|}{\sqrt2}$). Обе прямые проходят через центр окружности.

Шаг 2. Случай $a=0$. Система: $x^4-y^4=0$, $y=0$ — только $x=0$. Одно решение.

Шаг 3. Прямые. Подставим $y=ax$:

— $ax+a=x$: при $a\ne1$ одна точка $x_1=-\dfrac{a}{a-1}$; при $a=1$ решений нет (прямые параллельны);

— $ax+a=-x$: при $a\ne-1$ одна точка $x_2=-\dfrac{a}{a+1}$; при $a=-1$ нет.

Точки $x_1$ и $x_2$ совпадают только при $a=0$.

Шаг 4. Окружность. $x^2+a^2(x+1)^2=\dfrac{a^2}{2}\iff(1+a^2)x^2+2a^2x+\dfrac{a^2}{2}=0$. Четверть дискриминанта:

$$a^4-(1+a^2)\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2(a^2-1)}{2}.$$

При $a\ne0$: две точки при $|a|\gt1$, одна при $|a|=1$, ни одной при $|a|\lt1$.

Шаг 5. Совпадения. Точка прямой $y+a=x$ лежит на окружности, если $x^2+x^2=\dfrac{a^2}{2}$, то есть $x=\pm\dfrac a2$. Приравниваем $-\dfrac{a}{a-1}=\pm\dfrac a2$: $a-1=\mp2$, $a=-1$ или $a=3$. Для прямой $y+a=-x$ аналогично $-\dfrac a{a+1}=\pm\dfrac a2$: $a=-3$ или $a=1$.

Шаг 6. Подсчёт.

— $0\lt|a|\lt1$: две точки на прямых — два решения;

— $|a|=1$: одна прямая параллельна $y=ax$, точка касания с окружностью совпадает с точкой на другой прямой — одно решение;

— $|a|\gt1$, $|a|\ne3$: две точки на прямых и две на окружности, все различны — четыре решения;

— $a=3$: точка $x_1=-1{,}5$ лежит и на окружности — решений три; $a=-3$ — аналогично три.

Итак, ровно четыре решения при $|a|\gt1$, $a\ne\pm3$.

Проверим $a=3$ напрямую: прямая $y=3x$; с $y=x-3$ — точка $x=-1{,}5$, с $y=-x-3$ — точка $x=-0{,}75$; окружность $x^2+(3x+3)^2=4{,}5$, то есть $10x^2+18x+4{,}5=0$, $x=-0{,}3$ и $x=-1{,}5$. Различных точек три.