Задание 19 ЕГЭ по математике №00043797

Здесь система с модулем и корнем. Первое уравнение после выделения полного квадрата связывает $|x|$ и $y$, а второе задаёт $y$ однозначно. Поэтому число решений системы — это число подходящих $x$, и всё решает знак одного выражения для $|x|$.

Шаг 1. Раскроем $(y-4a)(y+4a)=y^2-16a^2$ и соберём полный квадрат по $y$:

$$(|x|+a^2)^2+y^2-16a^2-4y+4=0\iff (|x|+a^2)^2+(y-2)^2=16a^2.$$

Шаг 2. Второе уравнение: $y-2=2\sqrt{6a}$, оно требует $a\ge0$ и даёт одно значение $y$, причём $(y-2)^2=24a$. Подставим:

$$(|x|+a^2)^2=16a^2-24a.$$

Число решений системы равно числу подходящих $x$.

Шаг 3. Правая часть должна быть неотрицательной: $a(16a-24)\ge0$, при $a\ge0$ это $a=0$ или $a\ge1{,}5$.

При $a=0$: $|x|^2=0$, $x=0$ — одно решение, не подходит.

При $a\ge1{,}5$: выражение $|x|+a^2$ положительно, поэтому из двух знаков корня остаётся один:

$$|x|=\sqrt{16a^2-24a}-a^2.$$

Два решения будут, если это значение положительно (тогда $x=\pm|x|$); при нуле решение одно, при отрицательном — нет.

Шаг 4. Обе части неравенства $\sqrt{16a^2-24a}\gt a^2$ неотрицательны, возводим в квадрат:

$$16a^2-24a\gt a^4\iff a\left(a^3-16a+24\right)\lt0.$$

Разложим левую часть группировкой. Сравним её с полным квадратом: $a^4-16a^2+24a=(a^2-4)^2-8a^2+24a-16=(a^2-4)^2-8(a-1)(a-2)$. Оба слагаемых содержат множитель $a-2$, ведь $(a^2-4)^2=(a-2)^2(a+2)^2$. Поэтому

$$a^4-16a^2+24a=(a-2)\bigl((a-2)(a+2)^2-8(a-1)\bigr)=(a-2)\left(a^3+2a^2-12a\right)=a(a-2)\left(a^2+2a-12\right).$$

Значит, $a^3-16a+24=(a-2)(a^2+2a-12)$, корни трёхчлена $-1\pm\sqrt{13}$. При $a\ge1{,}5$ трёхчлен отрицателен, пока $a\lt\sqrt{13}-1\approx2{,}61$ (при $a=1{,}5$: $2{,}25+3-12\lt0$).

Знак $(a-2)(a^2+2a-12)$:

— $1{,}5\le a\lt2$: оба множителя отрицательны — произведение положительно, неравенство не выполнено;

— $2\lt a\lt\sqrt{13}-1$: произведение отрицательно — выполнено;

— $a\gt\sqrt{13}-1$: положительно — не выполнено.

При $a=2$ и $a=\sqrt{13}-1$ получаем $|x|=0$ — одно решение.

Итак, ровно два решения при $2\lt a\lt\sqrt{13}-1$.

Проверим себя при $a=2{,}3$: $16\cdot5{,}29-55{,}2=29{,}44$, $\sqrt{29{,}44}\approx5{,}426$, $|x|\approx5{,}426-5{,}29=0{,}136\gt0$ — два решения. А при $a=1{,}8$: $\sqrt{51{,}84-43{,}2}\approx2{,}94\lt3{,}24$ — решений нет. Сходится.