Задание 19 ЕГЭ по математике №00043796

Сначала упростим первое уравнение: в нём прячется сумма двух квадратов.

Шаг 1. $(y-4a)(y+4a)=y^2-16a^2$. Перенесём всё влево и соберём полный квадрат по $y$:

$$(|x|-a^2)^2+y^2-16a^2-9a^2+2y+1=0\iff (|x|-a^2)^2+(y+1)^2=25a^2.$$

Шаг 2. Из второго уравнения $\sqrt a$ существует только при $a\ge0$, и $y+1=6\sqrt a$, то есть $(y+1)^2=36a$. Каждому допустимому $a$ отвечает ровно одно значение $y$. Подставим:

$$(|x|-a^2)^2=25a^2-36a.$$

Число решений системы равно числу значений $x$, удовлетворяющих этому уравнению.

Шаг 3. Случай $a=0$. Получаем $|x|^2=0$, $x=0$ — одно решение. Не подходит.

Шаг 4. Случай $a\gt0$. Обозначим $D=25a^2-36a=a(25a-36)$. При $0\lt a\lt1{,}44$ имеем $D\lt0$ — решений нет.

При $a=1{,}44$: $D=0$, $|x|=a^2\gt0$, это даёт $x=\pm a^2$ — два решения. Подходит.

При $a\gt1{,}44$: $|x|=a^2\pm\sqrt D$. Большее значение $a^2+\sqrt D$ положительно и даёт два значения $x$. Меньшее $a^2-\sqrt D$: положительное даёт ещё два, нулевое — одно, отрицательное — ни одного. Сравним $a^4$ и $D$:

$$a^4-25a^2+36a=a\left(a^3-25a+36\right)=a(a-4)\left(a^2+4a-9\right).$$

(Число $4$ — корень кубического многочлена: $64-100+36=0$.) Корни трёхчлена $a^2+4a-9$: $a=-2\pm\sqrt{13}$; положительный $\sqrt{13}-2\approx1{,}61$, он больше $1{,}44$.

Знак $(a-4)(a^2+4a-9)$ при $a\gt1{,}44$:

— $1{,}44\lt a\lt\sqrt{13}-2$: оба множителя отрицательны, произведение положительно, $a^2\gt\sqrt D$ — четыре решения;

— $a=\sqrt{13}-2$: $|x|=0$ и $|x|=2a^2$ — три решения;

— $\sqrt{13}-2\lt a\lt4$: произведение отрицательно, меньшее значение $|x|$ отрицательно — два решения;

— $a=4$: тоже три решения; $a\gt4$: четыре решения.

Итак, ровно два решения при $a=1{,}44$ и при $\sqrt{13}-2\lt a\lt4$.

Проверим себя при $a=2{,}25$: $\sqrt a=1{,}5$, $y=8$; $D=25\cdot5{,}0625-81=45{,}5625$, $\sqrt D=6{,}75$; $|x|=5{,}0625\pm6{,}75$ — подходит только $11{,}8125$, решений два. Верно.