Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043766

В трапецию вписаны две окружности, и каждая касается обоих оснований. Поэтому их радиусы равны половине высоты трапеции: $r=\dfrac h2$. Дальше работаем с отрезками касательных: из одной вершины они равны, и из них складываются и боковая сторона, и основания.

Пункт а. Пусть вторая окружность (она касается $BC$, $CD$, $AD$) имеет центр $O_2$ и касается $CD$ в точке $T$, $BC$ — в точке $M$, $AD$ — в точке $K$. Пусть $CD=10k$. Точка $T$ делит $CD$ в отношении $1:9$, то есть отрезки $CT$ и $DT$ — это $k$ и $9k$ (пока неважно, в каком порядке).

Отрезки касательных из одной точки равны: $CM=CT$, $DK=DT$.

Радиусы $O_2M$ и $O_2K$ перпендикулярны параллельным основаниям, поэтому точки $M$, $O_2$, $K$ лежат на одном перпендикуляре к основаниям, и $MK=2r$.

Опустим из $C$ высоту $CH$ на $AD$. Четырёхугольник $CMKH$ — прямоугольник, поэтому $CH=MK=2r$ и $HK=CM=CT$. Тогда проекция боковой стороны на основание равна разности отрезков касательных: $DH=|DK-HK|=|DT-CT|=9k-k=8k$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CHD$:

$$CD^2=DH^2+CH^2\iff(10k)^2=(8k)^2+(2r)^2\iff 4r^2=100k^2-64k^2=36k^2.$$

Отсюда $2r=6k$, $r=3k=0{,}3\cdot CD$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $CD=AB=20$, поэтому $k=2$, $r=6$, высота $h=12$. Какой отрезок у какой вершины? Отрезок касательной из $C$ входит в меньшее основание $BC$, а из $D$ — в большее $AD$. Если бы у вершины $C$ стоял длинный отрезок $18$, то $BC$ вышло бы больше $AD$. Поэтому $CT=2$, $DT=18$.

Отрезки касательных из одной точки равны: окружность касается $BC$ в $2$ от $C$ и $AD$ в $18$ от $D$. По симметрии первая окружность — в $2$ от $B$ и в $18$ от $A$. Центры на расстоянии $2r=12$ друг от друга, их проекции — точки касания с основаниями. Поэтому

$$BC=2+12+2=16,\qquad AD=18+12+18=48.$$

Проверка: полуразность оснований $16$, высота $12$, боковая $\sqrt{256+144}=20$. Верно.

Центр описанной окружности лежит на оси симметрии трапеции. Введём координаты: середина $AD$ — начало, $A(-24;0)$, $D(24;0)$, $B(-8;12)$, $C(8;12)$. Центр $Q(0;y)$ равноудалён от $A$ и $B$:

$$24^2+y^2=8^2+(12-y)^2\iff 576=64+144-24y\iff y=-\dfrac{368}{24}=-\dfrac{46}{3}.$$

Центр оказался ниже основания $AD$ — это нормально: угол $ABD$ тупой. Радиус:

$$R^2=24^2+\left(\dfrac{46}{3}\right)^2=576+\dfrac{2116}{9}=\dfrac{7300}{9},\qquad R=\dfrac{\sqrt{7300}}{3}=\dfrac{10\sqrt{73}}{3}.$$

Проверим второй точкой: расстояние до $C(8;12)$: $64+\left(12+\dfrac{46}{3}\right)^2=64+\dfrac{6724}{9}=\dfrac{7300}{9}$. Совпало.