Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042516

Пункт а. Докажу, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Пусть прямая $AB$ проходит через точку $P'$, а прямая $CD$ — через точку $P$, причём $P'$ лежит между $A$ и $B$, а $P$ — между $D$ и $C$. Тогда точки $A$, $D$, $P$, $P'$ лежат на первой окружности, а $B$, $C$, $P$, $P'$ — на второй.

Обозначу $\angle BCP=\alpha$.

Шаг 1. Четырёхугольник $BCPP'$ вписан во вторую окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$, а углы при вершинах $C$ и $P'$ противоположные. Поэтому $\angle BP'P=180^\circ-\alpha$.

Шаг 2. Точки $A$, $P'$, $B$ лежат на одной прямой, значит, углы $BP'P$ и $AP'P$ смежные:

$$\angle AP'P=180^\circ-(180^\circ-\alpha)=\alpha.$$

Шаг 3. Четырёхугольник $ADPP'$ вписан в первую окружность, углы при вершинах $D$ и $P'$ в нём противоположные. Поэтому $\angle ADP=180^\circ-\angle AP'P=180^\circ-\alpha$.

Шаг 4. Прямые $m=AD$ и $m'=BC$ пересечены секущей $CD$, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от неё. Углы $ADC$ (это угол $ADP$) и $BCD$ (это угол $BCP$) — внутренние односторонние, и их сумма

$$(180^\circ-\alpha)+\alpha=180^\circ.$$

По признаку параллельности прямых $m\parallel m'$. Что и требовалось доказать.

Замечание о другом расположении. Если точка $P$ лежит вне отрезка $DC$ (или $P'$ — вне отрезка $AB$), рассуждение то же, только в одном из шагов вместо «сумма противоположных углов равна $180^\circ$» используется «вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны», а внутренние односторонние углы заменяются соответственными.

Пункт б. Найду $BC:AD$ при $AP'=2$, $P'B=6$, $DP=5$, $PC=1$.

Обозначу $SA=x$, $SD=y$. Точка $A$ лежит между $S$ и $B$, поэтому на луче $SB$ точки идут в порядке $S$, $A$, $P'$, $B$, и $SP'=x+2$, $SB=x+8$.

По пункту а $AD\parallel BC$. Треугольники $SAD$ и $SBC$ подобны: угол $S$ общий, а углы $SAD$ и $SBC$ равны как соответственные. Точка $D$ при этом лежит на отрезке $SC$, и $SP=y+5$, $SC=y+6$. Отношение подобия:

$$\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SD}{SC}=\dfrac{AD}{BC},\qquad\dfrac{x}{x+8}=\dfrac{y}{y+6}.$$

Отсюда $x(y+6)=y(x+8)$, то есть $6x=8y$ и $x=\dfrac43y$.

Из точки $S$ к первой окружности проведены две секущие: одна пересекает её в точках $A$ и $P'$, другая — в точках $D$ и $P$. Для секущих, проведённых из одной точки, произведение расстояний от этой точки до двух точек пересечения с окружностью одно и то же:

$$SA\cdot SP'=SD\cdot SP,\qquad x(x+2)=y(y+5).$$

Подставляю $x=\dfrac43y$ и делю на $y\gt0$: $\dfrac43\left(\dfrac43y+2\right)=y+5$, то есть $\dfrac{16}{9}y+\dfrac83=y+5$, $\dfrac79y=\dfrac73$, $y=3$. Тогда $x=4$.

Искомое отношение:

$$\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{x+8}{x}=\dfrac{12}{4}=3.$$

Проверю другим способом — подключив вторую окружность. Секущие из точки $S$ пересекают её в точках $P'$, $B$ и $P$, $C$, поэтому $SP'\cdot SB=SP\cdot SC$, то есть $(x+2)(x+8)=(y+5)(y+6)$. Вычту из этого равенства равенство для первой окружности: $8(x+2)=6(y+5)$, то есть $4x-3y=7$. Вместе с $3x=4y$ получается линейная система: $x=\dfrac43y$, $\dfrac{16}{3}y-3y=7$, $y=3$, $x=4$ — те же значения.

Конфигурация существует при любом угле между прямыми: $SA\cdot SP'=4\cdot6=24=3\cdot8=SD\cdot SP$, поэтому точки $A$, $P'$, $D$, $P$ лежат на одной окружности, а $SP'\cdot SB=6\cdot12=72=8\cdot9=SP\cdot SC$, поэтому на одной окружности лежат и $P'$, $B$, $P$, $C$.