Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках C индекс 1 и B индекс 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB индекс 1 C индекс 1 . б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если угол A равно 30 в степени ° , B индекс 1 C индекс 1 равно 5 и площадь треугольника AB индекс 1 C индекс 1 в пять раз меньше площади четырёхугольника BCB индекс 1 C индекс 1 .

а) доказано; б) BC равно 5 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , R равно 5 корень из: начало аргумента: 7 минус 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента

Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

№2. Задание 17

ID: 00022404

Окружность проходит через вершины

B

C

треугольника

ABC

и пересекает

AB

AC

в точках

C_1

B_1

соответственно. а) Докажите, что треугольник

ABC

подобен треугольнику

AB_1C_1

. б) Вычислите длину стороны

BC

и радиус данной окружности, если

\angle A=30^\circ

B_1C_1=5

и площадь треугольника

AB_1C_1

в пять раз меньше площади четырёхугольника

BCB_1C_1

Решение

а) Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $B_1$ равен внутреннему при противоположной вершине $B$ : $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ . Вместе с общим углом $A$ это даёт подобие $\triangle AB_1C_1\sim\triangle ABC$ .

б) Коэффициент подобия: из $S_{AB_1C_1}=\dfrac15 S_{BCB_1C_1}$ следует $S_{ABC}=6S_{AB_1C_1}$ , значит $k^2=\dfrac16$ , $k=\dfrac{1}{\sqrt6}$ . Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=5\sqrt6$ .

Радиус: $B_1C_1=2R\sin\beta_1$ , $BC=2R\sin\beta$ , $\angle A=\beta-\beta_1$ , откуда $\sin\beta_1=\dfrac{k\sin A}{\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}$ и $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta_1}$ .

При $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin30^\circ=\dfrac12$ , $k=\dfrac{1}{\sqrt6}$ : $1+k^2-2k\cos A=1+\dfrac16-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt6}=\dfrac76-\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{7-3\sqrt2}{6}$ . Значит $\sin\beta_1=\dfrac{\frac{1}{\sqrt6}\cdot\frac12}{\sqrt{(7-3\sqrt2)/6}}=\dfrac{1}{2\sqrt{7-3\sqrt2}}$ , и $R=\dfrac{5}{2\sin\beta_1}=5\sqrt{7-3\sqrt2}$ .

Итак $BC=5\sqrt6$ , $R=5\sqrt{7-3\sqrt2}$ .

Ответ

а) доказано; б)

BC=5\sqrt6

R=5\sqrt{7-3\sqrt2}