Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022404

а) Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол при $B_1$ равен внутреннему при противоположной вершине $B$: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$. Вместе с общим углом $A$ это даёт подобие $\triangle AB_1C_1\sim\triangle ABC$.

б) Коэффициент подобия: из $S_{AB_1C_1}=\dfrac15 S_{BCB_1C_1}$ следует $S_{ABC}=6S_{AB_1C_1}$, значит $k^2=\dfrac16$, $k=\dfrac{1}{\sqrt6}$. Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=5\sqrt6$.

Радиус: $B_1C_1=2R\sin\beta_1$, $BC=2R\sin\beta$, $\angle A=\beta-\beta_1$, откуда $\sin\beta_1=\dfrac{k\sin A}{\sqrt{1+k^2-2k\cos A}}$ и $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\beta_1}$.

При $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin30^\circ=\dfrac12$, $k=\dfrac{1}{\sqrt6}$: $1+k^2-2k\cos A=1+\dfrac16-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt6}=\dfrac76-\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{7-3\sqrt2}{6}$. Значит $\sin\beta_1=\dfrac{\frac{1}{\sqrt6}\cdot\frac12}{\sqrt{(7-3\sqrt2)/6}}=\dfrac{1}{2\sqrt{7-3\sqrt2}}$, и $R=\dfrac{5}{2\sin\beta_1}=5\sqrt{7-3\sqrt2}$.

Итак $BC=5\sqrt6$, $R=5\sqrt{7-3\sqrt2}$.