а) Меньшая окружность проходит через центр O большей и касается её изнутри в точке A. Значит и A, и O лежат на меньшей окружности, причём отрезок AO — её диаметр (центр меньшей — середина AO, а её радиус вдвое меньше большого). Это ключ ко всему.

Точка K лежит на меньшей окружности, поэтому угол AKO опирается на диаметр AO и равен 90^\circ: OK\perp AB. Но O — центр большей окружности, а AB — её хорда; перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит K — середина AB. Точно так же M — середина AC. Тогда KM — средняя линия треугольника ABC, а средняя линия параллельна основанию: KM\parallel BC. Что и требовалось доказать.

б) Радиус большей R=34, хорда BC=32. Расстояние от центра O до хорды: \sqrt{R^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30.

Центр меньшей окружности O' — середина AO, её радиус 17, и она касается прямой BC, значит расстояние от O' до BC равно 17. Расстояние от середины отрезка до прямой равно среднему арифметическому расстояний его концов: \dfrac{d_A+d_O}{2}=17, где d_O=30. Отсюда d_A=4 — вот на каком расстоянии от BC находится вершина A.

Теперь найдём AP. Опустим перпендикуляры на BC: из O — в середину хорды Q, из A — в точку H. Точка касания P — основание перпендикуляра из O', а раз O' — середина AO, то P — середина отрезка HQ. Поставим BC на горизонталь, Q в начало. Тогда H=(x;0), A=(x;4), P=\left(\dfrac{x}{2};0\right), и AP^2=\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+4^2. Координату x даёт то, что A лежит на большей окружности: x^2+(4-30)^2=34^2, то есть x^2=1156-676=480, а \left(\dfrac{x}{2}\right)^2=120. Значит AP=\sqrt{120+16}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}.

Осталось найти AL. Прямая KM — средняя линия, поэтому она пересекает любой отрезок, идущий из вершины A к стороне BC, ровно в его середине. Отрезок AP — как раз такой, значит L — его середина: AL=\dfrac{AP}{2}=\dfrac{2\sqrt{34}}{2}=\sqrt{34}.