Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022399

а) Меньшая окружность проходит через центр $O$ большей и касается её изнутри в точке $A$. Значит и $A$, и $O$ лежат на меньшей окружности, причём отрезок $AO$ — её диаметр (центр меньшей — середина $AO$, а её радиус вдвое меньше большого). Это ключ ко всему.

Точка $K$ лежит на меньшей окружности, поэтому угол $AKO$ опирается на диаметр $AO$ и равен $90^\circ$: $OK\perp AB$. Но $O$ — центр большей окружности, а $AB$ — её хорда; перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит $K$ — середина $AB$. Точно так же $M$ — середина $AC$. Тогда $KM$ — средняя линия треугольника $ABC$, а средняя линия параллельна основанию: $KM\parallel BC$. Что и требовалось доказать.

б) Радиус большей $R=34$, хорда $BC=32$. Расстояние от центра $O$ до хорды: $\sqrt{R^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30$.

Центр меньшей окружности $O'$ — середина $AO$, её радиус $17$, и она касается прямой $BC$, значит расстояние от $O'$ до $BC$ равно $17$. Расстояние от середины отрезка до прямой равно среднему арифметическому расстояний его концов: $\dfrac{d_A+d_O}{2}=17$, где $d_O=30$. Отсюда $d_A=4$ — вот на каком расстоянии от $BC$ находится вершина $A$.

Теперь найдём $AP$. Опустим перпендикуляры на $BC$: из $O$ — в середину хорды $Q$, из $A$ — в точку $H$. Точка касания $P$ — основание перпендикуляра из $O'$, а раз $O'$ — середина $AO$, то $P$ — середина отрезка $HQ$. Поставим $BC$ на горизонталь, $Q$ в начало. Тогда $H=(x;0)$, $A=(x;4)$, $P=\left(\dfrac{x}{2};0\right)$, и $AP^2=\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+4^2$. Координату $x$ даёт то, что $A$ лежит на большей окружности: $x^2+(4-30)^2=34^2$, то есть $x^2=1156-676=480$, а $\left(\dfrac{x}{2}\right)^2=120$. Значит $AP=\sqrt{120+16}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$.

Осталось найти $AL$. Прямая $KM$ — средняя линия, поэтому она пересекает любой отрезок, идущий из вершины $A$ к стороне $BC$, ровно в его середине. Отрезок $AP$ — как раз такой, значит $L$ — его середина: $AL=\dfrac{AP}{2}=\dfrac{2\sqrt{34}}{2}=\sqrt{34}$.