а) Точки A, B, M, D, N лежат на одной окружности. В четырёхугольнике ABMD сторона AD\parallel BM (так как AD\parallel BC, а M на BC) — это вписанная равнобедренная трапеция, её диагонали равны: AM=BD. В четырёхугольнике ABND сторона AB\parallel DN (так как AB\parallel CD, а N на прямой CD) — снова равнобедренная трапеция: AN=BD. Значит, AM=AN. Что и требовалось.

б) Пусть AB=CD=a, тогда BC=AD=2a. Как и в предыдущем разборе, из равнобедренной трапеции ABMD получаем DM=AB=a; а так как DC=AB=a, треугольник DMC равнобедренный (DM=DC=a). Угол при вершине C равен \angle BAD, поэтому CM=2\cdot DC\cdot\cos\angle BAD=2a\cdot\dfrac23=\dfrac{4a}{3}.

Применим степень точки C: CM\cdot CB=CD\cdot CN. Слева CM\cdot CB=\dfrac{4a}{3}\cdot2a=\dfrac{8a^2}{3}. Справа CD\cdot CN=a\cdot CN. Приравнивая, получаем CN=\dfrac{8a}{3}.

Точка N лежит на продолжении CD за точку D, поэтому CN=CD+DN, откуда DN=CN-CD=\dfrac{8a}{3}-a=\dfrac{5a}{3}. Тогда CD:DN=a:\dfrac{5a}{3}=3:5=0{,}6.

Проверка: CM=\dfrac{4a}{3}<2a=CB, значит точка M действительно лежит на стороне BC — всё сходится.