Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00022402

а) Точки $A$, $B$, $M$, $D$, $N$ лежат на одной окружности. В четырёхугольнике $ABMD$ сторона $AD\parallel BM$ (так как $AD\parallel BC$, а $M$ на $BC$) — это вписанная равнобедренная трапеция, её диагонали равны: $AM=BD$. В четырёхугольнике $ABND$ сторона $AB\parallel DN$ (так как $AB\parallel CD$, а $N$ на прямой $CD$) — снова равнобедренная трапеция: $AN=BD$. Значит, $AM=AN$. Что и требовалось.

б) Пусть $AB=CD=a$, тогда $BC=AD=2a$. Как и в предыдущем разборе, из равнобедренной трапеции $ABMD$ получаем $DM=AB=a$; а так как $DC=AB=a$, треугольник $DMC$ равнобедренный ($DM=DC=a$). Угол при вершине $C$ равен $\angle BAD$, поэтому $CM=2\cdot DC\cdot\cos\angle BAD=2a\cdot\dfrac23=\dfrac{4a}{3}$.

Применим степень точки $C$: $CM\cdot CB=CD\cdot CN$. Слева $CM\cdot CB=\dfrac{4a}{3}\cdot2a=\dfrac{8a^2}{3}$. Справа $CD\cdot CN=a\cdot CN$. Приравнивая, получаем $CN=\dfrac{8a}{3}$.

Точка $N$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, поэтому $CN=CD+DN$, откуда $DN=CN-CD=\dfrac{8a}{3}-a=\dfrac{5a}{3}$. Тогда $CD:DN=a:\dfrac{5a}{3}=3:5=0{,}6$.

Проверка: $CM=\dfrac{4a}{3}<2a=CB$, значит точка $M$ действительно лежит на стороне $BC$ — всё сходится.