Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042521

Пункт а. Докажу, что части хорд соответственно равны.

Пусть равные хорды $AB$ и $CD$ длины $a$ пересекаются в точке $Q$. Обозначу $AQ=x$, $CQ=y$; тогда $QB=a-x$, $QD=a-y$.

Способ 1 — через свойство пересекающихся хорд. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: $AQ\cdot QB=CQ\cdot QD$, то есть

$$x(a-x)=y(a-y).$$

Раскрываю скобки и переношу всё в левую часть: $ax-x^2-ay+y^2=0$, то есть $a(x-y)-(x^2-y^2)=0$.

Разность квадратов раскладывается: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Выношу общий множитель $x-y$:

$$(x-y)(a-x-y)=0.$$

Произведение равно нулю, значит, $x=y$ или $x=a-y$.

Если $x=y$, то $AQ=CQ$ и $QB=a-x=a-y=QD$.

Если $x=a-y$, то $AQ=QD$ и $QB=a-x=y=CQ$.

В обоих случаях части одной хорды соответственно равны частям другой (разница лишь в том, какой конец хорды как назван). Что и требовалось доказать.

Способ 2 — через расстояния до центра. Равные хорды одинаково удалены от центра $O$. Пусть $M$ и $N$ — середины хорд $AB$ и $CD$; тогда $OM\perp AB$, $ON\perp CD$ и $OM=ON$.

Прямоугольные треугольники $OMQ$ и $ONQ$ имеют общую гипотенузу $OQ$ и равные катеты $OM=ON$, поэтому они равны и $QM=QN$ (если $Q$ совпадает с серединой хорды, оба этих отрезка нулевые).

Части первой хорды равны $\dfrac a2+QM$ и $\dfrac a2-QM$, части второй — $\dfrac a2+QN$ и $\dfrac a2-QN$. Так как $QM=QN$, части попарно равны.

Проверка на частном случае: если хорды — два диаметра, точка $Q$ — центр, и все четыре части равны радиусу, что согласуется с доказанным.

Пункт б. Найду меньший из отрезков хорды $AB$ при $AB=CD=8$, $AB\perp CD$, $R=5$.

Пусть $O$ — центр окружности, $M$ и $N$ — середины хорд $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде проходит через её середину, поэтому $OM\perp AB$, $ON\perp CD$. Из прямоугольного треугольника $OMB$ ($OB=5$, $MB=4$):

$$OM=\sqrt{25-16}=3,$$

и точно так же $ON=3$.

В четырёхугольнике $OMQN$ углы при вершинах $M$, $Q$ и $N$ прямые ($OM\perp AB$, $ON\perp CD$, $AB\perp CD$), значит, это прямоугольник, и $QM=ON=3$.

Точка $Q$ лежит на хорде $AB$ на расстоянии $3$ от её середины, поэтому делит хорду на отрезки $4-3=1$ и $4+3=7$. Меньший из них равен $1$.

Проверю другим путём. $OQ=\sqrt{OM^2+QM^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\lt5$, точка $Q$ внутри круга. Проведу через $Q$ диаметр: он делится точкой $Q$ на отрезки $5-3\sqrt2$ и $5+3\sqrt2$. По свойству пересекающихся хорд $AQ\cdot QB=(5-3\sqrt2)(5+3\sqrt2)=25-18=7$. Если $AQ=t$, то $t(8-t)=7$, $t^2-8t+7=0$, $t=1$ или $t=7$ — отрезки $1$ и $7$, как и выше. По пункту а хорда $CD$ делится так же.