Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042517

Пункт а. Докажу, что $MN=PQ$.

Пусть $M$ и $M'$ лежат на первой окружности, $N$ и $N'$ — на второй; $MN$ и $M'N'$ — отрезки двух внешних касательных между точками касания. Внутренняя касательная касается первой окружности в точке $F$, второй — в точке $E$ и пересекает внешние касательные в точках $P$ (на $MN$) и $Q$ (на $M'N'$). На внутренней касательной точки идут в порядке $P$, $F$, $E$, $Q$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Обозначу $PF=x$, $FE=y$, $EQ=z$; тогда $PQ=x+y+z$.

Шаг 1. Отрезок $MN$. Из точки $P$ к первой окружности проведены касательные $PM$ и $PF$, поэтому $PM=PF=x$. Ко второй окружности — касательные $PN$ и $PE$, поэтому $PN=PE=x+y$. Точка $P$ лежит между $M$ и $N$, значит,

$$MN=PM+PN=x+(x+y)=2x+y.$$

Шаг 2. Отрезок $M'N'$. Из точки $Q$: ко второй окружности $QN'=QE=z$, к первой $QM'=QF=z+y$. Аналогично

$$M'N'=QN'+QM'=z+(z+y)=2z+y.$$

Шаг 3. Две внешние касательные симметричны относительно линии центров, поэтому их отрезки между точками касания равны: $MN=M'N'$. Значит, $2x+y=2z+y$, то есть $x=z$.

Шаг 4. $PQ=x+y+z=x+y+x=2x+y=MN$. Что и требовалось доказать.

Проверка на частном случае: две окружности радиуса $1$ с центрами $(0;0)$ и $(4;0)$. Внешние касательные — прямые $y=1$ и $y=-1$, отрезок $MN$ между точками касания $(0;1)$ и $(4;1)$ равен $4$. Внутренняя касательная проходит через середину $(2;0)$ под углом $\varphi$ к линии центров, где $2\sin\varphi=1$, то есть $\varphi=30^\circ$. Между прямыми $y=1$ и $y=-1$ она высекает отрезок длины $PQ=\dfrac{2}{\sin30^\circ}=4=MN$ — верно.

Пункт б. Найду $PQ$ при радиусах $2$ и $8$ и $FE=6$.

Обозначу центры окружностей $O_1$ и $O_2$, радиусы $r_1=2$ и $r_2=8$, расстояние между центрами $d=O_1O_2$.

Внутренняя касательная. Радиусы $O_1F$ и $O_2E$ перпендикулярны касательной и направлены от неё в разные стороны (окружности лежат по разные стороны от внутренней касательной). Проведу через $O_1$ прямую, параллельную $FE$, до пересечения с продолжением радиуса $O_2E$ в точке $T$. Получится прямоугольный треугольник $O_1TO_2$ с катетами $O_1T=FE=6$ и $O_2T=r_1+r_2=10$:

$$d^2=6^2+10^2=136.$$

Внешняя касательная. Радиусы $O_1M$ и $O_2N$ перпендикулярны ей и направлены в одну сторону, поэтому аналогичный прямоугольный треугольник имеет катеты $MN$ и $r_2-r_1=6$ и гипотенузу $d$:

$$MN=\sqrt{d^2-(r_2-r_1)^2}=\sqrt{136-36}=10.$$

По пункту а $PQ=MN=10$.

Проверю без расстояния между центрами. Из точки $P$ к первой окружности проведены касательные $PM$ и $PF$, поэтому $PO_1$ — биссектриса угла $MPF$; к второй — касательные $PN$ и $PE$, и $PO_2$ — биссектриса угла $NPE$. Лучи $PM$ и $PN$ противоположны, а $F$ и $E$ лежат на одном луче из $P$, поэтому углы $MPF$ и $NPE$ смежные, и $\angle O_1PM+\angle O_2PN=90^\circ$.

В обозначениях пункта а $PM=x$, $PN=x+y$, где $y=FE=6$. Из прямоугольных треугольников $O_1MP$ и $O_2NP$: $\operatorname{tg}\angle O_1PM=\dfrac{2}{x}$, $\operatorname{tg}\angle O_2PN=\dfrac{8}{x+6}$, а тангенсы углов, дающих в сумме $90^\circ$, взаимно обратны: $\dfrac{2}{x}\cdot\dfrac{8}{x+6}=1$. Отсюда $x^2+6x-16=0$, $x=2$, и $PQ=MN=2x+y=4+6=10$. Совпало.