Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043765

Обе окружности касаются и верхнего, и нижнего основания. Значит, диаметр каждой равен высоте трапеции $h$, и радиусы у них одинаковые: $r=\dfrac h2$.

Пункт а. Сторону $CD$ касается вторая окружность (она касается $BC$, $CD$, $AD$); пусть $O_2$ — её центр, $T$ — точка касания на $CD$.

Окружность вписана в углы $C$ и $D$ трапеции, поэтому $O_2$ лежит на биссектрисах этих углов. Углы $C$ и $D$ прилежат к боковой стороне, при $BC\parallel AD$ их сумма $180^\circ$. Половины в сумме дают $90^\circ$, значит, в треугольнике $CO_2D$ угол при $O_2$ прямой.

Радиус $O_2T$ перпендикулярен $CD$, то есть это высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе. Квадрат такой высоты равен произведению отрезков гипотенузы:

$$r^2=CT\cdot TD.$$

Пусть $CD=5k$. Точка $T$ делит $CD$ в отношении $1:4$, поэтому отрезки равны $k$ и $4k$, и $r^2=4k^2$, $r=2k=0{,}4\cdot CD$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Трапеция равнобедренная, $CD=AB=30$, тогда $k=6$, $r=12$, $h=24$, а отрезки касательных из $C$ и $D$ равны $6$ и $24$.

Какой из них при $C$? Угол $C$ при меньшем основании тупой, его половина больше $45^\circ$, и центр $O_2$ ближе к вершине $C$. Отрезок касательной из вершины равен $r\operatorname{ctg}$ половины угла, поэтому у тупого угла он меньше: $CT=6$, $DT=24$.

Отрезки касательных из одной вершины равны, поэтому окружность касается $BC$ на расстоянии $6$ от $C$, а $AD$ — на расстоянии $24$ от $D$. По симметрии первая окружность касается $BC$ на расстоянии $6$ от $B$ и $AD$ на расстоянии $24$ от $A$.

Центры окружностей лежат на одной высоте $12$, а расстояние между ними равно сумме радиусов: $24$. Точки касания с основаниями — проекции центров, поэтому между ними на каждом основании тоже $24$:

$$BC=6+24+6=36,\qquad AD=24+24+24=72.$$

Проверим: полуразность оснований $\dfrac{72-36}{2}=18$, высота $24$, боковая сторона $\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{900}=30$. Сходится.

Окружность, описанная около трапеции, описана и около треугольника $ACD$. Диагональ $AC$: проекция $C$ на $AD$ отстоит от $A$ на $72-18=54$, поэтому

$$AC=\sqrt{54^2+24^2}=\sqrt{2916+576}=\sqrt{3492}=6\sqrt{97}.$$

Синус угла $D$: $\sin D=\dfrac{h}{CD}=\dfrac{24}{30}=0{,}8$. По теореме синусов $AC=2R\sin D$:

$$R=\dfrac{6\sqrt{97}}{2\cdot0{,}8}=\dfrac{6\sqrt{97}}{1{,}6}=\dfrac{15\sqrt{97}}{4}.$$

Проверим координатами: середину $AD$ в начало, $A(-36;0)$, $B(-18;24)$. Центр $(0;y)$ равноудалён от $A$ и $B$: $1296+y^2=324+(24-y)^2$, откуда $48y=-396$, $y=-8{,}25$, и $R^2=1296+68{,}0625=1364{,}0625=\dfrac{225\cdot97}{16}$. Совпало.