Задание 17 ЕГЭ по математике: Две окружности касаются внутренним образом в точке C . Вершины A…

Опишем картинку словами. Две окружности касаются изнутри в точке C: меньшая лежит внутри большей, и у них ровно одна общая точка. В точке касания у обеих окружностей одна и та же касательная — обозначим эту прямую \ell.

Из точки C выходят два перпендикулярных луча: на одном взята точка A (она лежит на меньшей окружности), на другом — точка B (она лежит на большей окружности), причём CA=CB, ведь треугольник ABC равнобедренный прямоугольный с прямым углом при вершине C. Прямая AC пересекает большую окружность второй раз в точке E, а прямая BC пересекает меньшую окружность второй раз в точке D. Обе вершины A и B лежат по одну сторону от касательной \ell (обе окружности расположены по одну сторону от неё).

Главный инструмент здесь — угол между касательной и хордой: он равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги.

Пункт а. Докажем, что прямые AD и BE параллельны.

Обозначим через \varphi угол между касательной \ell и лучом CA.

Работаем с меньшей окружностью. Хорда CA выходит из точки касания, поэтому угол между касательной \ell и хордой CA равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Вершина D лежит на меньшей окружности, значит, \angle ADC=\varphi.

Теперь большая окружность. Точка E лежит на луче CA (это второе пересечение прямой AC с большей окружностью), поэтому хорда CE идёт по тому же лучу, и угол между касательной \ell и хордой CE — это тот же самый угол \varphi. Вершина B лежит на большей окружности, значит, вписанный угол, опирающийся на хорду CE, тоже равен \varphi: \angle EBC=\varphi.

Точки D и B лежат на одной прямой (это прямая BC), а точки A и E — по одну сторону от неё. Значит, углы \angle ADC и \angle EBC — соответственные углы при прямых AD и BE и секущей BD.

Соответственные углы равны, следовательно, прямые AD и BE параллельны. Доказано.

Пункт б. Найдём AC, если радиусы равны 3 и 4.

Пусть r=3 — радиус меньшей окружности (на ней лежит точка A), R=4 — радиус большей (на ней лежит точка B).

Длину хорды удобно считать по правилу: хорда равна 2\cdot(\text{радиус})\cdot\sin(\text{вписанного угла, опирающегося на неё}). А вписанный угол, опирающийся на хорду, выходящую из точки касания, равен углу между этой хордой и касательной \ell — это мы уже обсудили.

Для хорды CA меньшей окружности угол с касательной равен \varphi, поэтому CA=2r\sin\varphi=6\sin\varphi.

Теперь посмотрим на хорду CB большей окружности. Лучи CA и CB перпендикулярны, а лежат они по одну сторону от прямой \ell. Значит, углы, которые они образуют с касательной, вместе дают 90^{\circ}: угол между \ell и лучом CB равен 90^{\circ}-\varphi.

Тогда CB=2R\sin\left(90^{\circ}-\varphi\right)=8\cos\varphi.

По условию треугольник равнобедренный: CA=CB, то есть 6\sin\varphi=8\cos\varphi.

Разделим обе части на \cos\varphi (он не равен нулю, иначе луч CB совпал бы с касательной): 6\operatorname{tg}\varphi=8, откуда \operatorname{tg}\varphi=\dfrac{8}{6}=\dfrac43.

По тангенсу восстановим синус. Если \operatorname{tg}\varphi=\dfrac43, то подходит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 и гипотенузой \sqrt{4^2+3^2}=5, поэтому \sin\varphi=\dfrac45 (угол \varphi острый).

Подставляем: CA=6\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{5}=4{,}8.

Проверим себя вторым выражением: CB=8\cos\varphi=8\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{5} — совпало, значит, треугольник действительно равнобедренный. Кроме того, хорда CA не превосходит диаметра меньшей окружности: 4{,}8\lt 6 — всё в порядке.