Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028798

Опишем картинку словами. Две окружности касаются изнутри в точке $C$: меньшая лежит внутри большей, и у них ровно одна общая точка. В точке касания у обеих окружностей одна и та же касательная — обозначим эту прямую $\ell$.

Из точки $C$ выходят два перпендикулярных луча: на одном взята точка $A$ (она лежит на меньшей окружности), на другом — точка $B$ (она лежит на большей окружности), причём $CA=CB$, ведь треугольник $ABC$ равнобедренный прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. Прямая $AC$ пересекает большую окружность второй раз в точке $E$, а прямая $BC$ пересекает меньшую окружность второй раз в точке $D$. Обе вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от касательной $\ell$ (обе окружности расположены по одну сторону от неё).

Главный инструмент здесь — угол между касательной и хордой: он равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги.

Пункт а. Докажем, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.

Обозначим через $\varphi$ угол между касательной $\ell$ и лучом $CA$.

Работаем с меньшей окружностью. Хорда $CA$ выходит из точки касания, поэтому угол между касательной $\ell$ и хордой $CA$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Вершина $D$ лежит на меньшей окружности, значит, $\angle ADC=\varphi$.

Теперь большая окружность. Точка $E$ лежит на луче $CA$ (это второе пересечение прямой $AC$ с большей окружностью), поэтому хорда $CE$ идёт по тому же лучу, и угол между касательной $\ell$ и хордой $CE$ — это тот же самый угол $\varphi$. Вершина $B$ лежит на большей окружности, значит, вписанный угол, опирающийся на хорду $CE$, тоже равен $\varphi$: $\angle EBC=\varphi$.

Точки $D$ и $B$ лежат на одной прямой (это прямая $BC$), а точки $A$ и $E$ — по одну сторону от неё. Значит, углы $\angle ADC$ и $\angle EBC$ — соответственные углы при прямых $AD$ и $BE$ и секущей $BD$.

Соответственные углы равны, следовательно, прямые $AD$ и $BE$ параллельны. Доказано.

Пункт б. Найдём $AC$, если радиусы равны $3$ и $4$.

Пусть $r=3$ — радиус меньшей окружности (на ней лежит точка $A$), $R=4$ — радиус большей (на ней лежит точка $B$).

Длину хорды удобно считать по правилу: хорда равна $2\cdot(\text{радиус})\cdot\sin(\text{вписанного угла, опирающегося на неё})$. А вписанный угол, опирающийся на хорду, выходящую из точки касания, равен углу между этой хордой и касательной $\ell$ — это мы уже обсудили.

Для хорды $CA$ меньшей окружности угол с касательной равен $\varphi$, поэтому $CA=2r\sin\varphi=6\sin\varphi$.

Теперь посмотрим на хорду $CB$ большей окружности. Лучи $CA$ и $CB$ перпендикулярны, а лежат они по одну сторону от прямой $\ell$. Значит, углы, которые они образуют с касательной, вместе дают $90^{\circ}$: угол между $\ell$ и лучом $CB$ равен $90^{\circ}-\varphi$.

Тогда $CB=2R\sin\left(90^{\circ}-\varphi\right)=8\cos\varphi$.

По условию треугольник равнобедренный: $CA=CB$, то есть $6\sin\varphi=8\cos\varphi$.

Разделим обе части на $\cos\varphi$ (он не равен нулю, иначе луч $CB$ совпал бы с касательной): $6\operatorname{tg}\varphi=8$, откуда $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$.

По тангенсу восстановим синус. Если $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac43$, то подходит прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $3$ и гипотенузой $\sqrt{4^2+3^2}=5$, поэтому $\sin\varphi=\dfrac45$ (угол $\varphi$ острый).

Подставляем: $CA=6\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{5}=4{,}8$.

Проверим себя вторым выражением: $CB=8\cos\varphi=8\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{5}$ — совпало, значит, треугольник действительно равнобедренный. Кроме того, хорда $CA$ не превосходит диаметра меньшей окружности: $4{,}8\lt 6$ — всё в порядке.