Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043758

Здесь логарифм от логарифма, а внешнее основание — $\operatorname{tg}0{,}9$. Сначала разберёмся с ним.

Основание. $\dfrac\pi4\approx0{,}785$ и $\dfrac\pi2\approx1{,}571$, поэтому угол $0{,}9$ лежит между ними. На промежутке $\left(\dfrac\pi4;\dfrac\pi2\right)$ тангенс возрастает и больше $\operatorname{tg}\dfrac\pi4=1$. Значит, $\operatorname{tg}0{,}9\gt1$.

Внешний логарифм. Обозначим $L=\log_{\frac14}(x^2-2)$. Основание больше единицы, логарифм возрастает. График $y=\log_aL$ при $a\gt1$ лежит ниже оси (или на ней), когда $0\lt L\le1$. Значит,

$$0\lt\log_{\frac14}(x^2-2)\le1.$$

Внутренний логарифм. Основание $\dfrac14\lt1$, логарифм убывает. Запишем $0=\log_{\frac14}1$ и $1=\log_{\frac14}\dfrac14$. При переходе к аргументам знаки неравенств меняются:

$$\dfrac14\le x^2-2\lt1\ \Longleftrightarrow\ 2{,}25\le x^2\lt3.$$

Условие $x^2-2\gt0$ здесь выполнено автоматически.

$2{,}25\le x^2\lt3$ означает $1{,}5\le|x|\lt\sqrt3$.

Получаем $(-\sqrt3;-1{,}5]\cup[1{,}5;\sqrt3)$.

Проверим себя на $x=1{,}6$: $x^2-2=0{,}56$, $\log_{\frac14}0{,}56\approx0{,}42\in(0;1]$, внешний логарифм по основанию больше единицы от числа меньше единицы отрицателен — верно. На $x=1{,}4$: $x^2-2=-0{,}04$ — логарифм не определён, точка вне ОДЗ.