Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043757

Это «логарифм от логарифма» с необычным основанием $\operatorname{tg}3{,}2$. Прежде всего нужно понять, больше это основание единицы или меньше, — от этого зависит, сохранится ли знак неравенства.

Основание. Число $3{,}2$ — угол в радианах. $\pi\approx3{,}14$, поэтому $3{,}2$ чуть больше $\pi$: $0\lt3{,}2-\pi\lt0{,}06$. Тангенс имеет период $\pi$, значит, $\operatorname{tg}3{,}2=\operatorname{tg}(3{,}2-\pi)$, а угол $3{,}2-\pi$ лежит между $0$ и $\dfrac\pi4\approx0{,}785$. На этом промежутке тангенс возрастает от $0$ до $1$. Итак,

$$0\lt\operatorname{tg}3{,}2\lt1.$$

Основание положительно и не равно единице — логарифм существует.

Внешний логарифм. Обозначим $L=\log_3(9-x^2)$. При основании $a$ из промежутка $(0;1)$ функция $\log_a$ убывает, и $\log_a L\ge0=\log_a1$ равносильно $0\lt L\le1$ (положительность $L$ — условие существования внешнего логарифма).

Внутренний логарифм. $0\lt\log_3(9-x^2)\le1$. Основание $3\gt1$, поэтому

$$3^0\lt9-x^2\le3^1\ \Longleftrightarrow\ 1\lt9-x^2\le3\ \Longleftrightarrow\ 6\le x^2\lt8.$$

Условие $9-x^2\gt0$ здесь выполняется автоматически.

$6\le x^2\lt8$ означает $\sqrt6\le|x|\lt\sqrt8=2\sqrt2$.

Получаем $(-2\sqrt2;-\sqrt6]\cup[\sqrt6;2\sqrt2)$.

Проверим себя на $x=2{,}5$: $9-6{,}25=2{,}75$, $\log_3 2{,}75\approx0{,}92\in(0;1]$, а логарифм по основанию меньше единицы от числа меньше единицы положителен — верно. На $x=2$: $\log_3 5\approx1{,}46\gt1$, внешний логарифм отрицателен — не подходит.