Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043744

Это произведение двух множителей: многочлена и суммы логарифмов. План — найти ОДЗ, упростить логарифмическую скобку до одного логарифма и сравнить знаки множителей.

ОДЗ. $x^2-5\gt0$ и $\sqrt5-x\gt0$. Первое: $x\lt-\sqrt5$ или $x\gt\sqrt5$. Второе: $x\lt\sqrt5$. Вместе: $x\lt-\sqrt5$ (примерно $x\lt-2{,}236$).

Логарифмическая скобка. $0{,}5=2^{-1}$ и $8=2^3$. Поэтому $\log_{0{,}5}y=-\log_2y=-3\log_8y$, и

$$\dfrac13\log_{0{,}5}(x^2-5)=-\log_8(x^2-5).$$

Скобка равна $\log_8(\sqrt5-x)-\log_8(x^2-5)=\log_8\dfrac{\sqrt5-x}{x^2-5}$.

Разложим $x^2-5=(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)=(\sqrt5-x)(-x-\sqrt5)$. Тогда

$$\dfrac{\sqrt5-x}{x^2-5}=\dfrac{1}{-x-\sqrt5},\qquad\text{скобка}=-\log_8(-x-\sqrt5).$$

На ОДЗ $-x-\sqrt5\gt0$. Скобка неотрицательна, когда $\log_8(-x-\sqrt5)\le0$, то есть $-x-\sqrt5\le1$, $x\ge-\sqrt5-1$. И отрицательна при $x\lt-\sqrt5-1$.

Многочлен. $2x^2+9x+10$: $D=81-80=1$, корни $x=\dfrac{-9\pm1}{4}$, то есть $-2$ и $-2{,}5$. $2x^2+9x+10=(2x+5)(x+2)$.

На ОДЗ $x\lt-\sqrt5\lt-2$, поэтому $x+2\lt0$. Значит, многочлен положителен при $x\lt-2{,}5$, равен нулю при $x=-2{,}5$, отрицателен при $-2{,}5\lt x\lt-\sqrt5$. (Точка $-2{,}5$ лежит в ОДЗ: $-2{,}5\lt-2{,}236$.)

Сравниваем точки. $-\sqrt5-1\approx-3{,}24$, это левее $-2{,}5$.

Знак произведения.

$x\lt-\sqrt5-1$: многочлен $+$, скобка $-$ — произведение отрицательно.

$-\sqrt5-1\le x\lt-2{,}5$: многочлен $+$, скобка $\ge0$ — подходит.

$x=-2{,}5$: многочлен равен нулю — подходит.

$-2{,}5\lt x\lt-\sqrt5$: многочлен $-$, скобка $+$ (здесь $x\gt-\sqrt5-1$) — не подходит.

Получаем $[-\sqrt5-1;-2{,}5]$.

Проверим себя на $x=-3$: многочлен $18-27+10=1\gt0$; $x^2-5=4$, $\dfrac13\log_{0{,}5}4=-\dfrac23$; $\log_8(\sqrt5+3)\approx\log_8 5{,}24\approx0{,}80$. Скобка $\approx0{,}13\gt0$, произведение положительно — подходит.