ID: 00022290
Источник: ФИПИ
ОДЗ по левой части: $x\sqrt{5}>0$, то есть $x>0$, и $\dfrac{x}{1-x}>0$; при $x>0$ это требует $1-x>0$. Итого $0</p><p>Собираем левую часть. Двойку вносим как квадрат:$2\log_2\left(x\sqrt{5}\right)=\log_2\left(5x^2\right)$. Тогда$\log_2\left(5x^2\right)-\log_2\dfrac{x}{1-x}=\log_2\dfrac{5x^2(1-x)}{x}=\log_2\bigl(5x(1-x)\bigr)$. Неравенство:$\log_2\bigl(5x(1-x)\bigr)\le\log_2\left(5x^2+\dfrac{1}{x}-2\right)$.</p><p>Основание$2>1$— переходим к аргументам:$5x(1-x)\le 5x^2+\dfrac{1}{x}-2$. Умножаем на$x>0$:$5x^2-5x^3\le 5x^3-2x+1$... аккуратно: справа$5x^3+1-2x$. Переносим всё вправо:$0\le 10x^3-5x^2-2x+1$.</p><p>Ищем корень кубического многочлена подбором:$x=\dfrac{1}{2}$даёт$\dfrac{10}{8}-\dfrac{5}{4}-1+1=0$— попали. Делим на$(2x-1)$:$10x^3-5x^2-2x+1=(2x-1)\left(5x^2-1\right)$— раскрой скобки и проверь, всё бьётся. Итак,$(2x-1)\left(5x^2-1\right)\ge 0$; корни:$\dfrac{1}{2}$и$\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.</p><p>Метод интервалов на ОДЗ$(0;\,1)$— точка$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$за бортом, а$\dfrac{\sqrt{5}}{5}\approx 0{,}45<\dfrac{1}{2}$. При$0
Ответ: $\left(0;\,\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2};\,1\right)$. Проверка $x=\dfrac{1}{2}$: слева $\log_2\dfrac{5}{4}-\log_2 1=\log_2\dfrac{5}{4}$, справа $\log_2\left(\dfrac{5}{4}+2-2\right)=\log_2\dfrac{5}{4}$ — равенство. Всё сходится.