Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022299

Это близнец классической задачи с кубом разности в числителе — раскручиваем по той же схеме.

Числитель: пусть $t=3^x$. Тогда $27^x=t^3$, $9^{x+1}=9\cdot 9^x=9t^2$, $3^{x+2}=9\cdot 3^x=9t$, и числитель равен $3t^3-9t^2+9t-3=3\left(t^3-3t^2+3t-1\right)=3(t-1)^3$. Это куб разности! Итак, сверху стоит $3\left(3^x-1\right)^3$.

Знаменатель: $50x^2-30x+4{,}5$. Домножим мысленно на $2$: $100x^2-60x+9=(10x-3)^2$. Значит, знаменатель равен $\dfrac{(10x-3)^2}{2}$ — он неотрицателен и обращается в ноль только при $x=0{,}3$.

При $x\ne 0{,}3$ знаменатель строго положителен, значит знак дроби — это знак числителя. Множитель $3$ положителен, куб знака не меняет, поэтому всё решает разность $3^x-1$: она неотрицательна ровно при $x\ge 0$, ведь показательная функция возрастает и $3^0=1$.

Итого: $x\ge 0$ и $x\ne 0{,}3$. Проверим концы. При $x=0$ числитель $3(1-1)^3=0$, знаменатель $4{,}5\ne 0$ — дробь равна нулю, нестрогий знак это разрешает, точку берём. При $x=0{,}3$ посчитаем знаменатель честно: $50\cdot 0{,}09-30\cdot 0{,}3+4{,}5=4{,}5-9+4{,}5=0$ — дробь не существует, точку обязательно выкалываем. Контроль: $x=1$ даёт числитель $3(3-1)^3=24>0$ и знаменатель $50-30+4{,}5=24{,}5>0$ — неравенство выполнено. Всё сходится.