Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043743

В неравенстве два логарифма с основаниями $125$ и $0{,}2$. Оба основания — степени пятёрки, а выражения под логарифмами связаны: $9x^2-12x+4$ — это квадрат. Сведём всё к одному логарифму и вынесем его за скобку.

ОДЗ. $2-3x\gt0$, то есть $x\lt\dfrac23$. Второй аргумент $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$ положителен при $x\neq\dfrac23$ — это уже выполнено.

Основание 5. $125=5^3$, поэтому $\log_{125}(2-3x)=\dfrac13\log_5(2-3x)$. $0{,}2=5^{-1}$, поэтому $\log_{0{,}2}y=-\log_5y$.

Второй аргумент: $(3x-2)^2=(2-3x)^2$, и так как $2-3x\gt0$, то $\log_5(2-3x)^2=2\log_5(2-3x)$. Значит,

$$\log_{0{,}2}(9x^2-12x+4)=-2\log_5(2-3x).$$

Неравенство:

$$\dfrac{x^2}{3}\log_5(2-3x)-2\log_5(2-3x)\lt0\ \Longleftrightarrow\ \left(x^2-6\right)\log_5(2-3x)\lt0$$

(умножили на $3$, знак не изменился).

Знак логарифма. $\log_5(2-3x)\gt0$, когда $2-3x\gt1$, то есть $x\lt\dfrac13$; равен нулю при $x=\dfrac13$; отрицателен при $\dfrac13\lt x\lt\dfrac23$.

Разбираем части ОДЗ.

При $x\lt\dfrac13$ логарифм положителен, нужно $x^2-6\lt0$, то есть $-\sqrt6\lt x\lt\sqrt6$. Вместе с $x\lt\dfrac13$: $-\sqrt6\lt x\lt\dfrac13$.

При $x=\dfrac13$ произведение равно нулю — строгое неравенство не выполнено.

При $\dfrac13\lt x\lt\dfrac23$ логарифм отрицателен, нужно $x^2-6\gt0$. Но здесь $x^2\lt\dfrac49\lt6$ — решений нет.

Получаем $\left(-\sqrt6;\dfrac13\right)$.

Проверим себя на $x=0$: первое слагаемое $0$, второе $\log_{0{,}2}4=-\log_5 4\lt0$ — неравенство верно. На $x=-3$ (левее $-\sqrt6\approx-2{,}45$): $9\log_{125}11+\log_{0{,}2}121=3\log_5 11-2\log_5 11=\log_5 11\gt0$ — не подходит.