Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00028768

Здесь логарифмы записаны по разным основаниям — $4$ и $2$, — а под ними стоят громоздкие произведения. План такой: сначала разложить всё на множители и выписать область допустимых значений, потом привести оба логарифма к одному основанию, и тогда почти всё сократится.

Начнём с разложения. Квадратный трёхчлен $x^{2}-2x-15$ имеет дискриминант $D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64$, $\sqrt{64}=8$, корни $\dfrac{2+8}{2}=5$ и $\dfrac{2-8}{2}=-3$. Значит $x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$.

Тогда выражение под первым логарифмом равно $(x-5)\cdot(x-5)(x+3)=(x-5)^{2}(x+3)$.

Теперь область допустимых значений (ОДЗ) — это те $x$, при которых под каждым логарифмом стоит строго положительное число.

Первое условие: $(x-5)^{2}(x+3)\gt 0$. Множитель $(x-5)^{2}$ — квадрат, он неотрицателен и обращается в ноль при $x=5$. Значит нужно одновременно $x\neq 5$ и $x+3\gt 0$, то есть $x\gt -3$.

Второе условие: $(x-5)^{2}\gt 0$, то есть снова $x\neq 5$ — ничего нового.

Итого ОДЗ: $x\gt -3$ и $x\neq 5$.

Приводим логарифмы к одному основанию. Основание $4$ — это $2^{2}$, и по формуле перехода $\log_{4}A=\dfrac{\log_{2}A}{\log_{2}4}=\dfrac{1}{2}\log_{2}A$. То есть логарифм по основанию $4$ — это ровно половина логарифма по основанию $2$.

Переписываем неравенство:

$$\dfrac{1}{2}\log_{2}\left((x-5)^{2}(x+3)\right)+1\geqslant \dfrac{1}{2}\log_{2}(x-5)^{2}.$$

Переносим логарифм справа налево и объединяем: $\dfrac{1}{2}\left[\log_{2}\left((x-5)^{2}(x+3)\right)-\log_{2}(x-5)^{2}\right]+1\geqslant 0$.

Разность логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм частного: $\log_{2}\dfrac{(x-5)^{2}(x+3)}{(x-5)^{2}}$. На ОДЗ $x\neq 5$, поэтому $(x-5)^{2}\neq 0$ и дробь смело сокращается, остаётся $\log_{2}(x+3)$.

Неравенство стало совсем простым: $\dfrac{1}{2}\log_{2}(x+3)+1\geqslant 0$.

Переносим единицу вправо: $\dfrac{1}{2}\log_{2}(x+3)\geqslant -1$, и умножаем обе части на $2$ (число положительное, знак не меняется): $\log_{2}(x+3)\geqslant -2$.

Запишем правую часть как логарифм: $-2=\log_{2}2^{-2}=\log_{2}\dfrac{1}{4}$. Основание $2\gt 1$, логарифм возрастает, поэтому переходим к аргументам без смены знака:

$$x+3\geqslant \dfrac{1}{4},\qquad \text{то есть}\qquad x\geqslant \dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{11}{4}=-2{,}75.$$

Осталось собрать ответ. Пересекаем найденный луч $x\geqslant -2{,}75$ с ОДЗ. Условие $x\gt -3$ выполняется автоматически, ведь $-2{,}75$ правее $-3$. А вот запрет $x\neq 5$ рвёт луч на две части: до пятёрки и после неё.

Получаем $[-2{,}75;5)\cup(5;+\infty)$: левый конец закрашен (неравенство нестрогое), точка $5$ выколота по ОДЗ с обеих сторон.

Проверим себя при $x=0$: под первым логарифмом $(0-5)(0-0-15)=(-5)\cdot(-15)=75$, слева получается $\log_{4}75+1\approx 3{,}13+1=4{,}13$; справа $0{,}5\log_{2}25\approx 0{,}5\cdot 4{,}64=2{,}32$. Неравенство выполняется — точка $x=0$ действительно в ответе.