Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 4 левая круглая скобка левая…

Здесь логарифмы записаны по разным основаниям — 4 и 2, — а под ними стоят громоздкие произведения. План такой: сначала разложить всё на множители и выписать область допустимых значений, потом привести оба логарифма к одному основанию, и тогда почти всё сократится.

Начнём с разложения. Квадратный трёхчлен x^{2}-2x-15 имеет дискриминант D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64, \sqrt{64}=8, корни \dfrac{2+8}{2}=5 и \dfrac{2-8}{2}=-3. Значит x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3).

Тогда выражение под первым логарифмом равно (x-5)\cdot(x-5)(x+3)=(x-5)^{2}(x+3).

Теперь область допустимых значений (ОДЗ) — это те x, при которых под каждым логарифмом стоит строго положительное число.

Первое условие: (x-5)^{2}(x+3)\gt 0. Множитель (x-5)^{2} — квадрат, он неотрицателен и обращается в ноль при x=5. Значит нужно одновременно x\neq 5 и x+3\gt 0, то есть x\gt -3.

Второе условие: (x-5)^{2}\gt 0, то есть снова x\neq 5 — ничего нового.

Итого ОДЗ: x\gt -3 и x\neq 5.

Приводим логарифмы к одному основанию. Основание 4 — это 2^{2}, и по формуле перехода \log_{4}A=\dfrac{\log_{2}A}{\log_{2}4}=\dfrac{1}{2}\log_{2}A. То есть логарифм по основанию 4 — это ровно половина логарифма по основанию 2.

Переписываем неравенство:

\dfrac{1}{2}\log_{2}\left((x-5)^{2}(x+3)\right)+1\geqslant \dfrac{1}{2}\log_{2}(x-5)^{2}.

Переносим логарифм справа налево и объединяем: \dfrac{1}{2}\left[\log_{2}\left((x-5)^{2}(x+3)\right)-\log_{2}(x-5)^{2}\right]+1\geqslant 0.

Разность логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм частного: \log_{2}\dfrac{(x-5)^{2}(x+3)}{(x-5)^{2}}. На ОДЗ x\neq 5, поэтому (x-5)^{2}\neq 0 и дробь смело сокращается, остаётся \log_{2}(x+3).

Неравенство стало совсем простым: \dfrac{1}{2}\log_{2}(x+3)+1\geqslant 0.

Переносим единицу вправо: \dfrac{1}{2}\log_{2}(x+3)\geqslant -1, и умножаем обе части на 2 (число положительное, знак не меняется): \log_{2}(x+3)\geqslant -2.

Запишем правую часть как логарифм: -2=\log_{2}2^{-2}=\log_{2}\dfrac{1}{4}. Основание 2\gt 1, логарифм возрастает, поэтому переходим к аргументам без смены знака:

x+3\geqslant \dfrac{1}{4},\qquad \text{то есть}\qquad x\geqslant \dfrac{1}{4}-3=-\dfrac{11}{4}=-2{,}75.

Осталось собрать ответ. Пересекаем найденный луч x\geqslant -2{,}75 с ОДЗ. Условие x\gt -3 выполняется автоматически, ведь -2{,}75 правее -3. А вот запрет x\neq 5 рвёт луч на две части: до пятёрки и после неё.

Получаем [-2{,}75;5)\cup(5;+\infty): левый конец закрашен (неравенство нестрогое), точка 5 выколота по ОДЗ с обеих сторон.

Проверим себя при x=0: под первым логарифмом (0-5)(0-0-15)=(-5)\cdot(-15)=75, слева получается \log_{4}75+1\approx 3{,}13+1=4{,}13; справа 0{,}5\log_{2}25\approx 0{,}5\cdot 4{,}64=2{,}32. Неравенство выполняется — точка x=0 действительно в ответе.