Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство x в квадрате log по основанию 625 левая…

В неравенстве два логарифма с разными основаниями, 625 и 5. Но 625 — это степень пятёрки, а справа под логарифмом стоит выражение, которое сворачивается в квадрат. После приведения к общему основанию всё неравенство станет произведением двух простых множителей.

Начнём с области допустимых значений. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому нужно 6-x\gt 0, то есть x\lt 6. Правое выражение x^{2}-12x+36=(x-6)^{2} при x\lt 6 положительно само собой, дополнительных условий нет.

Приводим левый логарифм к основанию 5. Поскольку 625=5^{4}, получаем

\log_{625}(6-x)=\dfrac{1}{4}\log_5(6-x).

Правую часть сворачиваем: x^{2}-12x+36=(6-x)^{2}, и при x\lt 6 выражение 6-x положительно, поэтому модуль не нужен:

\log_5\big((6-x)^{2}\big)=2\log_5(6-x).

Неравенство принимает вид

\dfrac{x^{2}}{4}\log_5(6-x)\leqslant 2\log_5(6-x).

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель:

\log_5(6-x)\left(\dfrac{x^{2}}{4}-2\right)\leqslant 0.

Умножим на 4 — множитель положительный, знак сохраняется:

\log_5(6-x)\,(x^{2}-8)\leqslant 0.

Смотрим на знаки. Логарифм по основанию 5 неотрицателен, когда аргумент не меньше единицы: 6-x\geqslant 1, то есть x\leqslant 5; при 5\leqslant x\lt 6 он неположителен. Скобка x^{2}-8 неположительна при -2\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 2\sqrt{2}.

Произведение неположительно, когда множители имеют разные знаки либо один из них равен нулю. Первый случай: x\leqslant 5 и одновременно -2\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 2\sqrt{2}; так как 2\sqrt{2}\approx 2{,}83, весь этот отрезок укладывается в условие x\leqslant 5, и получается [-2\sqrt{2};2\sqrt{2}].

Второй случай: 5\leqslant x\lt 6 и при этом x\geqslant 2\sqrt{2} (второй кусок x\leqslant-2\sqrt{2} сюда не попадает). Получаем [5;6).

Объединяя оба случая, приходим к ответу [-2\sqrt{2};2\sqrt{2}]\cup[5;6).

Проверим себя в точке между кусками, например x=4: логарифм \log_5 2 положителен, а 4^{2}-8=8 тоже положительно, произведение положительно — эта точка не решение, значит разрыв в ответе стоит правильно.