Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00028850

В неравенстве два логарифма с разными основаниями, $625$ и $5$. Но $625$ — это степень пятёрки, а справа под логарифмом стоит выражение, которое сворачивается в квадрат. После приведения к общему основанию всё неравенство станет произведением двух простых множителей.

Начнём с области допустимых значений. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому нужно $6-x\gt 0$, то есть $x\lt 6$. Правое выражение $x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}$ при $x\lt 6$ положительно само собой, дополнительных условий нет.

Приводим левый логарифм к основанию $5$. Поскольку $625=5^{4}$, получаем

$$\log_{625}(6-x)=\dfrac{1}{4}\log_5(6-x).$$

Правую часть сворачиваем: $x^{2}-12x+36=(6-x)^{2}$, и при $x\lt 6$ выражение $6-x$ положительно, поэтому модуль не нужен:

$$\log_5\big((6-x)^{2}\big)=2\log_5(6-x).$$

Неравенство принимает вид

$$\dfrac{x^{2}}{4}\log_5(6-x)\leqslant 2\log_5(6-x).$$

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель:

$$\log_5(6-x)\left(\dfrac{x^{2}}{4}-2\right)\leqslant 0.$$

Умножим на $4$ — множитель положительный, знак сохраняется:

$$\log_5(6-x)\,(x^{2}-8)\leqslant 0.$$

Смотрим на знаки. Логарифм по основанию $5$ неотрицателен, когда аргумент не меньше единицы: $6-x\geqslant 1$, то есть $x\leqslant 5$; при $5\leqslant x\lt 6$ он неположителен. Скобка $x^{2}-8$ неположительна при $-2\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 2\sqrt{2}$.

Произведение неположительно, когда множители имеют разные знаки либо один из них равен нулю. Первый случай: $x\leqslant 5$ и одновременно $-2\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 2\sqrt{2}$; так как $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$, весь этот отрезок укладывается в условие $x\leqslant 5$, и получается $[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}]$.

Второй случай: $5\leqslant x\lt 6$ и при этом $x\geqslant 2\sqrt{2}$ (второй кусок $x\leqslant-2\sqrt{2}$ сюда не попадает). Получаем $[5;6)$.

Объединяя оба случая, приходим к ответу $[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}]\cup[5;6)$.

Проверим себя в точке между кусками, например $x=4$: логарифм $\log_5 2$ положителен, а $4^{2}-8=8$ тоже положительно, произведение положительно — эта точка не решение, значит разрыв в ответе стоит правильно.