ID: 00022313
Источник: ФИПИ
Пусть $t=11^x$, $t>0$; тогда $121^x=t^2$. Знаменатель в середине раскладывается: $t^2-16t+60=(t-6)(t-10)$ — корни $6$ и $10$ по теореме Виета. Сразу фиксируем ОДЗ: $t \neq 6$, $t \neq 10$.
Переносим всё влево: $(t-6)-\dfrac{24t-244}{(t-6)(t-10)}-\dfrac{1}{t-10} \leqslant 0$. Общий знаменатель $(t-6)(t-10)$; числитель: $(t-6)^2(t-10)-(24t-244)-(t-6)$. Считаем «хвост»: $-24t+244-t+6 = -25t+250 = -25(t-10)$. Какая удача — из обоих слагаемых выносится $(t-10)$: числитель равен $(t-10)\bigl((t-6)^2-25\bigr)$, а разность квадратов даёт $(t-6-5)(t-6+5) = (t-11)(t-1)$.
Неравенство: $\dfrac{(t-1)(t-10)(t-11)}{(t-6)(t-10)} \leqslant 0$. Скобку $(t-10)$ можно сократить, но точка $t=10$ ОСТАЁТСЯ выколотой — она из ОДЗ, и забыть про неё — типичная ошибка этой задачи. Остаётся $\dfrac{(t-1)(t-11)}{t-6} \leqslant 0$ при $t \neq 10$.
Метод интервалов: $t=1$ и $t=11$ закрашены (нули числителя), $t=6$ выколота. При $t>11$ — «плюс», на $(6;\ 11)$ — минус, на $(1;\ 6)$ — плюс, на $(0;\ 1)$ — минус. Собираем «минус» и нули: $t \in (0;\ 1] \cup (6;\ 11]$, и выкалываем $t=10$: получаем $(0;\ 1] \cup (6;\ 10) \cup (10;\ 11]$.
Обратная замена ($11^x$ возрастает): $11^x \leqslant 1$ даёт $x \leqslant 0$; далее $6<11^x<10$ даёт $\log_{11} 6 < x < \log_{11} 10$; наконец $10<11^x \leqslant 11$ даёт $\log_{11} 10 < x \leqslant 1$.
Проверка концов: при $x=0$ (то есть $t=1$): слева $1-6-\dfrac{24-244}{1-16+60} = -5+\dfrac{220}{45} = -5+\dfrac{44}{9} = -\dfrac{1}{9}$, справа $\dfrac{1}{1-10} = -\dfrac{1}{9}$ — равенство. При $x=1$ (то есть $t=11$): слева $11-6-\dfrac{264-244}{5 \cdot 1} = 5-4 = 1$, справа $\dfrac{1}{11-10} = 1$ — снова равенство. Обе точки входят. Всё сходится.