Пусть t=11^x, t>0; тогда 121^x=t^2. Знаменатель в середине раскладывается: t^2-16t+60=(t-6)(t-10) — корни 6 и 10 по теореме Виета. Сразу фиксируем ОДЗ: t \neq 6, t \neq 10.

Переносим всё влево: (t-6)-\dfrac{24t-244}{(t-6)(t-10)}-\dfrac{1}{t-10} \leqslant 0. Общий знаменатель (t-6)(t-10); числитель: (t-6)^2(t-10)-(24t-244)-(t-6). Считаем «хвост»: -24t+244-t+6 = -25t+250 = -25(t-10). Какая удача — из обоих слагаемых выносится (t-10): числитель равен (t-10)\bigl((t-6)^2-25\bigr), а разность квадратов даёт (t-6-5)(t-6+5) = (t-11)(t-1).

Неравенство: \dfrac{(t-1)(t-10)(t-11)}{(t-6)(t-10)} \leqslant 0. Скобку (t-10) можно сократить, но точка t=10 ОСТАЁТСЯ выколотой — она из ОДЗ, и забыть про неё — типичная ошибка этой задачи. Остаётся \dfrac{(t-1)(t-11)}{t-6} \leqslant 0 при t \neq 10.

Метод интервалов: t=1 и t=11 закрашены (нули числителя), t=6 выколота. При t>11 — «плюс», на (6;\ 11) — минус, на (1;\ 6) — плюс, на (0;\ 1) — минус. Собираем «минус» и нули: t \in (0;\ 1] \cup (6;\ 11], и выкалываем t=10: получаем (0;\ 1] \cup (6;\ 10) \cup (10;\ 11].

Обратная замена (11^x возрастает): 11^x \leqslant 1 даёт x \leqslant 0; далее 6<11^x<10 даёт \log_{11} 6 < x < \log_{11} 10; наконец 10<11^x \leqslant 11 даёт \log_{11} 10 < x \leqslant 1.

Проверка концов: при x=0 (то есть t=1): слева 1-6-\dfrac{24-244}{1-16+60} = -5+\dfrac{220}{45} = -5+\dfrac{44}{9} = -\dfrac{1}{9}, справа \dfrac{1}{1-10} = -\dfrac{1}{9} — равенство. При x=1 (то есть t=11): слева 11-6-\dfrac{264-244}{5 \cdot 1} = 5-4 = 1, справа \dfrac{1}{11-10} = 1 — снова равенство. Обе точки входят. Всё сходится.