Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043756

Выражение $5^x-10$ стоит в неравенстве дважды. Обозначим его одной буквой.

Замена. $y=5^x-10$. Так как $5^x\gt0$, то $y\gt-10$. Знаменатель не ноль: $y\neq0$.

$$y\ge\dfrac{225}{y}\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{y^2-225}{y}\ge0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(y-15)(y+15)}{y}\ge0.$$

Знаки. Точки $-15$, $0$, $15$. При $y\lt-15$: $\dfrac{(-)(-)}{(-)}\lt0$. При $-15\lt y\lt0$: $\dfrac{(-)(+)}{(-)}\gt0$. При $0\lt y\lt15$: $\lt0$. При $y\gt15$: $\gt0$. Нули числителя подходят, $y=0$ — нет.

Итак, $-15\le y\lt0$ или $y\ge15$.

Учитываем $y\gt-10$. Левая часть $[-15;0)$ обрезается до $(-10;0)$: значения $y$ от $-15$ до $-10$ недостижимы, ведь $5^x$ не бывает отрицательным или нулём.

Обратно к $x$.

$-10\lt5^x-10\lt0$ $\Longleftrightarrow$ $0\lt5^x\lt10$ $\Longleftrightarrow$ $x\lt\log_5 10$.

$5^x-10\ge15$ $\Longleftrightarrow$ $5^x\ge25$ $\Longleftrightarrow$ $x\ge2$.

Получаем $(-\infty;\log_5 10)\cup[2;+\infty)$.

Проверим себя на $x=0$: $1-10=-9$, справа $\dfrac{225}{-9}=-25$; $-9\ge-25$ — верно. На $x=1{,}5$: $5^{1{,}5}-10\approx1{,}18$, справа $\approx190$ — неверно, и $1{,}5$ лежит между $\log_5 10\approx1{,}43$ и $2$.