Сначала ОДЗ: аргумент логарифма положителен, x^2-16>0, то есть x<-4 или x>4. Это условие будет резать наши промежутки в конце — не теряем его.

Дальше видим квадратный трёхчлен относительно логарифма. Замена t=\log_3\left(x^2-16\right): t^2-5t+6\ge 0. Корни по Виету: 2 и 3, значит (t-2)(t-3)\ge 0, откуда t\le 2 или t\ge 3.

Возвращаемся к x. Случай t\le 2: \log_3\left(x^2-16\right)\le 2, и так как логарифм по основанию 3>1 возрастает, x^2-16\le 3^2=9, то есть x^2\le 25, откуда -5\le x\le 5. Пересекаем с ОДЗ |x|>4: остаётся [-5;\,-4)\cup(4;\,5].

Случай t\ge 3: x^2-16\ge 3^3=27, то есть x^2\ge 43, откуда x\le-\sqrt{43} или x\ge\sqrt{43}. ОДЗ здесь выполнено само собой: \sqrt{43}\approx 6{,}6>4.

Собираем ответ: \left(-\infty;\,-\sqrt{43}\right]\cup[-5;\,-4)\cup(4;\,5]\cup\left[\sqrt{43};\,+\infty\right). Проверка границ: при x=5 будет x^2-16=9, t=\log_3 9=2, и 4-10+6=0\ge 0 — входит; при x=\sqrt{43} будет x^2-16=27, t=3, и 9-15+6=0 — входит. Точки \pm 4 выколоты ОДЗ. Всё сходится.