ID: 00022286
Источник: ФИПИ
Всё неравенство построено вокруг одного-единственного выражения $\log_{3}(x^{2}-16)$: сначала оно в квадрате, потом само по себе. Это классическая заготовка под замену переменной — обозначим логарифм одной буквой и получим обычное квадратное неравенство.
Сначала область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм существует только от положительного числа, поэтому нужно $x^{2}-16\gt 0$, то есть $x^{2}\gt 16$. Это значит $|x|\gt 4$, то есть $x\lt -4$ или $x\gt 4$. Других ограничений нет.
Делаем замену: пусть $t=\log_{3}(x^{2}-16)$. Тогда $\log_{3}^{2}(x^{2}-16)=t^{2}$, и неравенство превращается в $t^{2}-5t+6\geqslant 0$.
Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $t^{2}-5t+6=0$: дискриминант $D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$, $\sqrt{1}=1$, значит $t_{1}=\dfrac{5-1}{2}=2$ и $t_{2}=\dfrac{5+1}{2}=3$. Получаем $(t-2)(t-3)\geqslant 0$.
Парабола $t^{2}-5t+6$ ветвями вверх, значит она неотрицательна вне отрезка между корнями (метод интервалов даёт то же самое): $t\leqslant 2$ или $t\geqslant 3$.
Возвращаемся к $x$. Основание логарифма $3$ больше единицы, поэтому логарифм возрастает: большему аргументу отвечает больший логарифм, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. Обозначим для краткости $u=x^{2}-16$, помня, что по ОДЗ $u\gt 0$.
Первый случай: $\log_{3}u\leqslant 2$. Так как $3^{2}=9$, это означает $u\leqslant 9$, а вместе с условием $u\gt 0$ получаем $0\lt u\leqslant 9$. Подставляем $u=x^{2}-16$: $0\lt x^{2}-16\leqslant 9$, то есть $16\lt x^{2}\leqslant 25$. Отсюда $4\lt |x|\leqslant 5$, что даёт два симметричных куска: $[-5;-4)$ и $(4;5]$.
Второй случай: $\log_{3}u\geqslant 3$. Так как $3^{3}=27$, это означает $u\geqslant 27$, то есть $x^{2}-16\geqslant 27$, откуда $x^{2}\geqslant 43$ и $|x|\geqslant \sqrt{43}$. Это ещё два куска: $\left(-\infty;-\sqrt{43}\right]$ и $\left[\sqrt{43};+\infty\right)$.
Теперь соберём ответ из найденных промежутков. Отдельно проверять ОДЗ не нужно: условие $u\gt 0$ мы уже учли внутри первого случая, а во втором случае $u\geqslant 27$ и подавно положительно.
Проверим, не налезают ли куски друг на друга. Оценим $\sqrt{43}$: $6^{2}=36$, $7^{2}=49$, значит $6\lt\sqrt{43}\lt 7$, точнее $\sqrt{43}\approx 6{,}56$. Это больше $5$, поэтому промежуток $(4;5]$ и луч $\left[\sqrt{43};+\infty\right)$ не пересекаются — между ними остаётся «дырка» $\left(5;\sqrt{43}\right)$, где неравенство не выполняется. Слева картина симметричная.
Итого ответ — объединение четырёх промежутков, записанных слева направо по числовой прямой.