Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042146

Все степени в неравенстве выражаются через $3^x$, поэтому сделаем замену и получим рациональное неравенство.

Пусть $t=3^x$, $t\gt 0$. Тогда $9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=t^2$ и $3^{x+2}=3^x\cdot 3^2=9t$. Неравенство примет вид

$$\dfrac{t+7}{t-7}+\dfrac{t-7}{t+7}\leq\dfrac{36t-64}{t^2-49}.$$

Ограничение: $t\neq 7$ (знаменатели). Множитель $t+7$ при $t\gt 0$ в ноль не обращается.

Заметим, что $t^2-49=(t-7)(t+7)$ — разность квадратов, это и есть общий знаменатель всех трёх дробей. Числитель левой части:

$$(t+7)^2+(t-7)^2=t^2+14t+49+t^2-14t+49=2t^2+98.$$

Переносим правую часть влево:

$$\dfrac{2t^2+98-(36t-64)}{(t-7)(t+7)}\leq 0\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{2t^2-36t+162}{(t-7)(t+7)}\leq 0.$$

Числитель: $2t^2-36t+162=2(t^2-18t+81)=2(t-9)^2$, потому что $t^2-18t+81$ — квадрат разности $t$ и $9$.

$$\dfrac{2(t-9)^2}{(t-7)(t+7)}\leq 0.$$

При $t\gt 0$ множители $2$ и $t+7$ положительны и на знак не влияют. Остаётся

$$\dfrac{(t-9)^2}{t-7}\leq 0.$$

Разбираем случаи. Если $t=9$, числитель равен нулю, знаменатель $9-7=2\neq 0$ — дробь равна нулю, и при нестрогом знаке это подходит. Если $t\neq 9$, числитель строго положителен, и дробь неположительна только при отрицательном знаменателе: $t-7\lt 0$, $t\lt 7$.

С учётом $t\gt 0$: $0\lt t\lt 7$ или $t=9$.

Возвращаемся к $x$. Функция $3^x$ возрастает: $3^x\lt 7\Leftrightarrow x\lt\log_3 7$; $3^x=9\Leftrightarrow x=2$.

Проверим себя. При $x=0$ ($t=1$): левая часть $\dfrac{8}{-6}+\dfrac{-6}{8}=-\dfrac{25}{12}$, правая $\dfrac{36-64}{1-49}=\dfrac{7}{12}$; $-\dfrac{25}{12}\leq\dfrac{7}{12}$ — верно. При $x=2$ ($t=9$): левая часть $\dfrac{16}{2}+\dfrac{2}{16}=8\tfrac18$, правая $\dfrac{324-64}{81-49}=\dfrac{260}{32}=8\tfrac18$ — равенство, точка входит.