Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042156

Все степени выражаются через $4^x$: $16^x=(4^2)^x=(4^x)^2$ и $2^{3+2x}=2^3\cdot 2^{2x}=8\cdot 4^x$. Сделаем замену.

Пусть $t=4^x$, $t\gt 0$:

$$\dfrac{t^2-8t+16}{t^2-7t+10}\geq 0.$$

Числитель: $t^2-8t+16$, дискриминант $D=64-64=0$, корень $t=4$, поэтому $t^2-8t+16=(t-4)^2$.

Знаменатель: корни трёхчлена $t^2-7t+10$ равны $2$ и $5$ (сумма $7$, произведение $10$), $t^2-7t+10=(t-2)(t-5)$.

$$\dfrac{(t-4)^2}{(t-2)(t-5)}\geq 0,\qquad t\neq 2,\ t\neq 5.$$

Дробь неотрицательна в двух случаях.

Числитель равен нулю: $t=4$. Знаменатель там $(4-2)(4-5)=-2\neq 0$, дробь равна нулю — подходит.

Дробь положительна: при $t\neq 4$ числитель положителен, нужно $(t-2)(t-5)\gt 0$, то есть $t\lt 2$ или $t\gt 5$.

С учётом $t\gt 0$: $0\lt t\lt 2$, $t=4$ или $t\gt 5$.

Возвращаемся к $x$, функция $4^x$ возрастает:

$4^x\lt 2=4^{1/2}\Leftrightarrow x\lt\dfrac12$; $4^x=4\Leftrightarrow x=1$; $4^x\gt 5\Leftrightarrow x\gt\log_4 5$.

Проверим себя. При $x=0$ ($t=1$): числитель $1-8+16=9$, знаменатель $1-7+10=4$, дробь положительна — подходит. При $x=1$: числитель $16-32+16=0$, знаменатель $16-28+10=-2$ — дробь равна нулю, подходит. При $x=1{,}1$ ($t\approx 4{,}59$): числитель $\approx 0{,}35\gt 0$, знаменатель $\approx 2{,}59\cdot(-0{,}41)\lt 0$ — не подходит; и действительно, $\log_4 5\approx 1{,}16\gt 1{,}1$.