Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042147

Все степени выражаются через $2^x$, поэтому заменой сведём неравенство к рациональному.

Пусть $t=2^x$, $t\gt 0$. Тогда $4^x=(2^x)^2=t^2$ и $2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=8t$, так что $5\cdot 2^{x+3}=40t$. Получаем

$$\dfrac{t+8}{t-8}+\dfrac{t-8}{t+8}\leq\dfrac{40t-72}{t^2-64}.$$

Ограничение: $t\neq 8$, то есть $2^x\neq 8$, $x\neq 3$. Множитель $t+8$ при $t\gt 0$ нулём не бывает.

Общий знаменатель — $(t-8)(t+8)=t^2-64$. Числитель левой части:

$$(t+8)^2+(t-8)^2=t^2+16t+64+t^2-16t+64=2t^2+128.$$

Переносим правую часть влево:

$$\dfrac{2t^2+128-40t+72}{(t-8)(t+8)}\leq 0\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{2t^2-40t+200}{(t-8)(t+8)}\leq 0.$$

Числитель: $2t^2-40t+200=2(t^2-20t+100)$. У трёхчлена $t^2-20t+100$ дискриминант $D=20^2-4\cdot 100=0$, корень один, $t=10$, значит $t^2-20t+100=(t-10)^2$.

$$\dfrac{2(t-10)^2}{(t-8)(t+8)}\leq 0.$$

Множители $2$ и $t+8$ положительны при $t\gt 0$, их можно убрать, не меняя знак:

$$\dfrac{(t-10)^2}{t-8}\leq 0.$$

Если $t=10$, дробь равна нулю (знаменатель $10-8=2\neq 0$) — подходит, знак нестрогий. Если $t\neq 10$, числитель положителен, и нужно $t-8\lt 0$, то есть $t\lt 8$.

С учётом $t\gt 0$: $0\lt t\lt 8$ или $t=10$.

Возвращаемся к $x$. Функция $2^x$ возрастает: $2^x\lt 8=2^3\Leftrightarrow x\lt 3$. Уравнение $2^x=10$ по определению логарифма даёт $x=\log_2 10$.

Проверим себя. При $x=\log_2 10$ ($t=10$): левая часть $\dfrac{18}{2}+\dfrac{2}{18}=\dfrac{82}{9}$, правая $\dfrac{400-72}{100-64}=\dfrac{328}{36}=\dfrac{82}{9}$ — равенство. При $x=0$ ($t=1$): левая часть $\dfrac{9}{-7}+\dfrac{-7}{9}=-\dfrac{130}{63}$, правая $\dfrac{40-72}{1-64}=\dfrac{32}{63}$ — неравенство верно. При $x=4$ ($t=16$): левая часть $3+\dfrac13$, правая $\dfrac{568}{192}\approx 2{,}96$ — неверно, $x=4$ в ответ не входит.