Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043736

Показатели содержат дробь с $x$ — значит, выгодно взять её за новую переменную и получить квадратное неравенство.

ОДЗ. $x\neq0$.

Замена. $y=-\dfrac3x$, тогда $-\dfrac6x=2y$.

$3\cdot25^{1-\frac3x}=3\cdot25\cdot25^y=75\cdot25^y$;

$152\cdot15^{-\frac3x}=152\cdot15^y$;

$5\cdot3^{2-\frac6x}=5\cdot9\cdot3^{2y}=45\cdot9^y$.

$$75\cdot25^y-152\cdot15^y+45\cdot9^y\gt0.$$

$25=5^2$, $15=5\cdot3$, $9=3^2$ — делим на $9^y\gt0$:

$$75\left(\dfrac53\right)^{2y}-152\left(\dfrac53\right)^y+45\gt0.$$

Пусть $z=\left(\dfrac53\right)^y\gt0$: $75z^2-152z+45\gt0$.

$D=152^2-4\cdot75\cdot45=23104-13500=9604=98^2$.

$$z=\dfrac{152\pm98}{150}:\qquad z_1=\dfrac{250}{150}=\dfrac53,\qquad z_2=\dfrac{54}{150}=\dfrac{9}{25}.$$

Неравенство «больше нуля», ветви вверх — подходят $z$ вне отрезка между корнями: $z\lt\dfrac{9}{25}$ или $z\gt\dfrac53$.

К $y$. $\dfrac{9}{25}=\left(\dfrac53\right)^{-2}$, $\dfrac53=\left(\dfrac53\right)^1$, основание больше $1$:

$$y\lt-2\quad\text{или}\quad y\gt1.$$

К $x$. Функция $y=-\dfrac3x$ — гипербола.

$-\dfrac3x\lt-2$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac3x\gt2$. При $x\lt0$ левая часть отрицательна — не подходит. При $x\gt0$ умножаем на $x$: $3\gt2x$, $x\lt1{,}5$. Получаем $0\lt x\lt1{,}5$.

$-\dfrac3x\gt1$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac3x\lt-1$. При $x\gt0$ невозможно. При $x\lt0$ умножаем на $x$ с переменой знака: $3\gt-x$, $x\gt-3$. Получаем $-3\lt x\lt0$.

Получаем $(-3;0)\cup(0;1{,}5)$.

Проверим себя на $x=1$: $y=-3$, $z=\left(\dfrac35\right)^3=0{,}216\lt0{,}36$ — подходит. На $x=2$: $y=-1{,}5$, $z=\left(\dfrac35\right)^{1{,}5}\approx0{,}46$ — между корнями, не подходит. Всё сходится.