Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043735

Во всех трёх слагаемых в показателе есть дробь с $x$ в знаменателе. Если их привести к одной «переменной части», неравенство станет квадратным.

ОДЗ. $x\neq0$.

Замена в показателе. Пусть $y=-\dfrac4x$. Тогда $-\dfrac8x=2y$ и $-\dfrac{16}{x}=4y$. Перепишем слагаемые:

$16\cdot5^{1-\frac8x}=16\cdot5\cdot5^{2y}=80\cdot25^y$;

$189\cdot20^{-\frac4x}=189\cdot20^y$;

$25\cdot2^{2-\frac{16}{x}}=25\cdot4\cdot2^{4y}=100\cdot16^y$.

Неравенство:

$$80\cdot25^y-189\cdot20^y+100\cdot16^y\le0.$$

Однородность. $25=5^2$, $20=5\cdot4$, $16=4^2$. Разделим на положительное число $16^y$ (знак не меняется):

$$80\left(\dfrac{25}{16}\right)^y-189\left(\dfrac{5}{4}\right)^y+100\le0.$$

Пусть $z=\left(\dfrac54\right)^y\gt0$, тогда $\left(\dfrac{25}{16}\right)^y=z^2$:

$$80z^2-189z+100\le0.$$

$D=189^2-4\cdot80\cdot100=35721-32000=3721=61^2$.

$$z=\dfrac{189\pm61}{160}:\qquad z_1=\dfrac{250}{160}=\dfrac{25}{16},\qquad z_2=\dfrac{128}{160}=\dfrac45.$$

Ветви вверх, поэтому $\dfrac45\le z\le\dfrac{25}{16}$.

Обратно к $y$. $\dfrac45=\left(\dfrac54\right)^{-1}$, $\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac54\right)^2$. Основание $\dfrac54\gt1$, функция возрастает:

$$-1\le y\le2\ \Longleftrightarrow\ -1\le-\dfrac4x\le2.$$

Решаем два неравенства.

$-\dfrac4x\ge-1$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac4x\le1$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{4-x}{x}\le0$ $\Longleftrightarrow$ $x\lt0$ или $x\ge4$.

$-\dfrac4x\le2$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac4x\ge-2$ $\Longleftrightarrow$ $\dfrac{4+2x}{x}\ge0$ $\Longleftrightarrow$ $x\le-2$ или $x\gt0$.

Пересечение: $x\le-2$ или $x\ge4$.

Проверим себя на $x=-4$: $y=1$, $z=\dfrac54$, $80\cdot\dfrac{25}{16}-189\cdot\dfrac54+100=125-236{,}25+100=-11{,}25\le0$ — верно. На $x=1$: $y=-4$, $z=\left(\dfrac45\right)^4\approx0{,}41\lt\dfrac45$ — не подходит.