Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042157

Степени $81^x$ и $9^{x+1}$ выражаются через $9^x$: $81^x=(9^2)^x=(9^x)^2$, $9^{x+1}=9\cdot 9^x$. Сделаем замену и решим рациональное неравенство.

Пусть $t=9^x$, $t\gt 0$. Тогда $2\cdot 9^{x+1}=18t$, и

$$\dfrac{t^2-18t+81}{t^2-14t+33}\geq 0.$$

Числитель: $D=18^2-4\cdot 81=324-324=0$, единственный корень $t=9$, значит $t^2-18t+81=(t-9)^2$.

Знаменатель: $D=14^2-4\cdot 33=196-132=64$, $t=\dfrac{14\pm 8}{2}$, то есть $t=11$ и $t=3$; $t^2-14t+33=(t-3)(t-11)$.

$$\dfrac{(t-9)^2}{(t-3)(t-11)}\geq 0,\qquad t\neq 3,\ t\neq 11.$$

Первый случай — числитель равен нулю: $t=9$. Знаменатель $(9-3)(9-11)=-12\neq 0$, дробь равна нулю, при нестрогом знаке точка подходит.

Второй случай — дробь положительна. При $t\neq 9$ числитель положителен, значит нужно $(t-3)(t-11)\gt 0$: $t\lt 3$ или $t\gt 11$.

С учётом $t\gt 0$: $0\lt t\lt 3$, $t=9$ или $t\gt 11$.

Переходим к $x$ (функция $9^x$ возрастает):

$9^x\lt 3=9^{1/2}\Leftrightarrow x\lt\dfrac12$; $9^x=9\Leftrightarrow x=1$; $9^x\gt 11\Leftrightarrow x\gt\log_9 11$.

Проверим себя. При $x=0$ ($t=1$): числитель $1-18+81=64$, знаменатель $1-14+33=20$ — дробь положительна, подходит. При $x=1$ ($t=9$): числитель $81-162+81=0$, знаменатель $81-126+33=-12$ — дробь равна нулю, подходит. При $x=0{,}75$ ($t=9^{0{,}75}\approx 5{,}2$): числитель положителен, знаменатель $\approx 2{,}2\cdot(-5{,}8)\lt 0$ — не подходит.