Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043755

Неравенство содержит только $4^x$. Заменим его буквой — получится рациональное неравенство.

Замена. $t=4^x$, $t\gt0$. Знаменатель не ноль: $t\neq32$.

$$t+\dfrac{112}{t-32}\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{t(t-32)+112}{t-32}\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{t^2-32t+112}{t-32}\le0.$$

Умножать на $t-32$ мы не стали: его знак зависит от $t$.

Числитель. $D=32^2-4\cdot112=1024-448=576=24^2$, корни $t=\dfrac{32\pm24}{2}$: $t=28$ и $t=4$. $t^2-32t+112=(t-4)(t-28)$.

Метод интервалов по $t$ (при $t\gt0$). Точки $4$, $28$, $32$.

$0\lt t\lt4$: $\dfrac{(-)(-)}{(-)}\lt0$ — подходит. $4\lt t\lt28$: $\dfrac{(+)(-)}{(-)}\gt0$ — нет. $28\lt t\lt32$: $\dfrac{(+)(+)}{(-)}\lt0$ — подходит. $t\gt32$: $\gt0$ — нет. Нули числителя $t=4$, $t=28$ подходят.

Итак, $0\lt t\le4$ или $28\le t\lt32$.

Обратно к $x$. $4^x$ возрастает. $4^x\le4$ даёт $x\le1$. $28\le4^x\lt32$ даёт $\log_4 28\le x\lt\log_4 32$, а $32=2^5=4^{2{,}5}$, так что $\log_4 32=2{,}5$.

Получаем $(-\infty;1]\cup[\log_4 28;2{,}5)$.

Проверим себя на $x=0$: $1+\dfrac{112}{1-32}=1-\dfrac{112}{31}\lt0$ — верно. На $x=2$: $16+\dfrac{112}{-16}=16-7=9\gt0$ — не подходит.