Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043754

Нужно, чтобы произведение степеней было не меньше единицы. Возьмём логарифм по основанию $2$: $4=2^2$, а $9=3^2$ даст $\log_2 3$.

Чётность. Левая часть зависит от $|x|$ и $x^2$, поэтому не меняется при замене $x$ на $-x$. Решим неравенство при $x\ge0$ (тогда $|x|=x$) и отразим результат.

При $x\ge0$. Логарифмируем по основанию $2\gt1$:

$$\log_2 4^{9x-4x^2}+\log_2 9^{4x}\ge0\ \Longleftrightarrow\ 2(9x-4x^2)+4x\log_2 9\ge0.$$

$\log_2 9=2\log_2 3$, поэтому

$$18x-8x^2+8x\log_2 3\ge0\ \Longleftrightarrow\ 8x\left(\dfrac94+\log_2 3-x\right)\ge0.$$

При $x=0$ — равенство, подходит. При $x\gt0$ делим на $8x$: $x\le\dfrac94+\log_2 3$.

Значит, при $x\ge0$ подходят $0\le x\le\dfrac94+\log_2 3$.

Отражаем. По чётности при $x\le0$ подходят $-\dfrac94-\log_2 3\le x\le0$.

Получаем $\left[-\dfrac94-\log_2 3;\dfrac94+\log_2 3\right]$.

Проверим себя на $x=3$: $\dfrac94+\log_2 3\approx2{,}25+1{,}585=3{,}835$, так что $3$ должен подойти. $4^{27-36}\cdot9^{12}=\dfrac{3^{24}}{2^{18}}=\left(\dfrac{3^4}{2^3}\right)^6=\left(\dfrac{81}{8}\right)^6\gt1$ — верно.