Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043753

Произведение степеней с основаниями $6$ и $5$ должно быть не больше $1$. Прологарифмируем по основанию $6$ — показатели станут обычными слагаемыми.

Логарифмируем. Обе части положительны, основание $6\gt1$, знак сохраняется:

$$2x^2-5|x|+3|x|\log_6 5\le\log_6 1=0.$$

Здесь $\log_6 5^{3|x|}=3|x|\cdot\log_6 5$ — показатель выносится множителем.

Всё зависит от $|x|$. $x^2=|x|^2$. Обозначим $r=|x|\ge0$:

$$2r^2-5r+3r\log_6 5\le0\ \Longleftrightarrow\ r\left(2r-5+3\log_6 5\right)\le0.$$

При $r=0$ неравенство выполнено. При $r\gt0$ делим на $r$:

$$2r\le5-3\log_6 5\ \Longleftrightarrow\ r\le2{,}5-1{,}5\log_6 5.$$

Число справа положительно: $\log_6 5\lt1$ (ведь $5\lt6$), поэтому $1{,}5\log_6 5\lt1{,}5\lt2{,}5$.

Итак, $0\le|x|\le2{,}5-1{,}5\log_6 5$, то есть

$$1{,}5\log_6 5-2{,}5\le x\le2{,}5-1{,}5\log_6 5.$$

Проверим себя на $x=1$: $6^{2-5}\cdot5^3=\dfrac{125}{216}\le1$ — верно; и $1\lt2{,}5-1{,}5\cdot0{,}898\approx1{,}15$. На $x=1{,}5$: $6^{4{,}5-7{,}5}\cdot5^{4{,}5}=\dfrac{5^{4{,}5}}{216}\approx\dfrac{1398}{216}\gt1$ — не подходит.