Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043740

Степени с разными основаниями $2$ и $5$, у каждой свой показатель. Сведём неравенство к рациональному, прологарифмировав обе части.

ОДЗ. $x\neq0$.

Логарифм по основанию 2. Обе части положительны, основание больше единицы — знак сохраняется:

$$2x+\dfrac1x\log_2 5\ge\log_2 20.$$

$20=4\cdot5$, поэтому $\log_2 20=2+\log_2 5$. Обозначим $a=\log_2 5\gt0$:

$$2x+\dfrac ax-2-a\ge0.$$

Группируем. $2x-2=2(x-1)$, а $\dfrac ax-a=a\cdot\dfrac{1-x}{x}=-\dfrac{a(x-1)}{x}$. Выносим $x-1$:

$$(x-1)\left(2-\dfrac ax\right)\ge0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(x-1)(2x-a)}{x}\ge0.$$

Критические точки. $x=0$ (выколота), $x=1$, $x=\dfrac a2$.

$\dfrac a2=\dfrac{\log_2 5}{2}=\log_4 5$, потому что $\log_4 5=\dfrac{\log_2 5}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2 5}{2}$. И $\log_4 5\gt1$, так как $5\gt4$. Порядок: $0\lt1\lt\log_4 5$.

Знаки дроби. При $x\lt0$: $\dfrac{(-)(-)}{(-)}\lt0$. При $0\lt x\lt1$: $\dfrac{(-)(-)}{(+)}\gt0$. При $1\lt x\lt\log_4 5$: $\dfrac{(+)(-)}{(+)}\lt0$. При $x\gt\log_4 5$: положительна.

Нужны «плюсы» и нули числителя: $(0;1]\cup[\log_4 5;+\infty)$.

Проверим себя. $x=1$: $4\cdot5=20$ — равенство, точка входит. $x=-1$: $\dfrac14\cdot\dfrac15=\dfrac{1}{20}\lt20$ — не подходит. $x=0{,}5$: $2\cdot25=50\ge20$ — подходит.