Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043739

Слева произведение двух степеней с разными основаниями и разными показателями. Привести их к одному основанию нельзя, но можно прологарифмировать обе части — показатели «спустятся» множителями.

ОДЗ. $x\neq0$ (из-за $\dfrac1x$).

Логарифмируем. Обе части положительны. Возьмём логарифм по основанию $2$; основание больше единицы, знак неравенства сохраняется:

$$\log_2\left(2^{\frac1x}\cdot5^x\right)\le\log_2 0{,}1\ \Longleftrightarrow\ \dfrac1x+x\log_2 5\le\log_2 0{,}1.$$

Правая часть: $0{,}1=\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2\cdot5}$, поэтому $\log_2 0{,}1=-(1+\log_2 5)$. Обозначим $a=\log_2 5$ (это положительное число, больше $2$, так как $5\gt4$).

$$\dfrac1x+ax+1+a\le0.$$

Группируем. $\dfrac1x+1=\dfrac{1+x}{x}$ и $ax+a=a(x+1)$. Общий множитель $x+1$:

$$(x+1)\left(\dfrac1x+a\right)\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(x+1)(ax+1)}{x}\le0.$$

Умножать на $x$ мы не стали — его знак неизвестен; работаем с дробью.

Метод интервалов. Нули числителя: $x=-1$ и $x=-\dfrac1a$. Нуль знаменателя: $x=0$.

$\dfrac1a=\dfrac{1}{\log_2 5}=\log_5 2$, и $0\lt\log_5 2\lt1$. Поэтому порядок точек: $-1\lt-\log_5 2\lt0$.

Знаки дроби (при $a\gt0$): при $x\lt-1$ — $\dfrac{(-)(-)}{(-)}\lt0$; при $-1\lt x\lt-\log_5 2$ — $\dfrac{(+)(-)}{(-)}\gt0$; при $-\log_5 2\lt x\lt0$ — $\dfrac{(+)(+)}{(-)}\lt0$; при $x\gt0$ — положительна.

Нужны точки, где дробь $\le0$: промежутки со знаком «минус» и нули числителя.

Получаем $(-\infty;-1]\cup[-\log_5 2;0)$.

Проверим себя. При $x=-1$: $2^{-1}\cdot5^{-1}=\dfrac{1}{10}$ — равенство, точка входит. При $x=1$: $2\cdot5=10\gt0{,}1$ — не подходит, и действительно положительные $x$ в ответ не вошли.