Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042151

Показатели у обеих степеней одинаковые, а $4=2^2$. Значит, первая степень — квадрат второй, и неравенство после замены станет квадратным.

Обозначим $v=-x^2+6x-4$ и $t=2^v$, $t\gt 0$. Тогда $4^v=(2^2)^v=(2^v)^2=t^2$, и

$$t^2-34t+64\geq 0.$$

Корни: $D=34^2-4\cdot 64=1156-256=900=30^2$, $t=\dfrac{34\pm 30}{2}$, то есть $t=32$ и $t=2$. Ветви вверх, поэтому

$$t\leq 2\quad\text{или}\quad t\geq 32.$$

Переходим к показателю. Основание $2$ больше единицы, функция возрастает: $2^v\leq 2^1\Leftrightarrow v\leq 1$; $2^v\geq 2^5\Leftrightarrow v\geq 5$.

Первая ветка, $v\leq 1$:

$$-x^2+6x-4\leq 1\ \Longleftrightarrow\ x^2-6x+5\geq 0\ \Longleftrightarrow\ (x-1)(x-5)\geq 0,$$

откуда $x\leq 1$ или $x\geq 5$.

Вторая ветка, $v\geq 5$:

$$-x^2+6x-4\geq 5\ \Longleftrightarrow\ x^2-6x+9\leq 0\ \Longleftrightarrow\ (x-3)^2\leq 0.$$

Квадрат не бывает отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при $(x-3)^2=0$, то есть в единственной точке $x=3$.

Объединяем ветки: $x\leq 1$, $x=3$ или $x\geq 5$.

Проверим себя. При $x=3$: $v=-9+18-4=5$, $t=32$, и $32^2-34\cdot 32+64=1024-1088+64=0$ — равенство, точка входит. При $x=2$: $v=4$, $t=16$, $256-544+64=-224\lt 0$ — не подходит. При $x=0$: $v=-4$, $t=\dfrac{1}{16}$, левая часть $\approx 0{,}004-2{,}1+64\gt 0$ — подходит.