Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042150

Показатели степеней почти одинаковые: $-x^2+4x-1$ и $-x^2+4x-2$ отличаются на единицу. Выразим обе степени через одну и ту же и сделаем замену.

Обозначим $u=-x^2+4x-2$. Тогда $-x^2+4x-1=u+1$ и

$$9^{u+1}=9\cdot 9^u=9\cdot\left(3^u\right)^2.$$

Пусть $t=3^u$, $t\gt 0$. Неравенство превращается в квадратное:

$$9t^2-28t+3\geq 0.$$

Корни: $D=28^2-4\cdot 9\cdot 3=784-108=676=26^2$, $t=\dfrac{28\pm 26}{18}$, то есть $t=3$ и $t=\dfrac{2}{18}=\dfrac19$. Ветви вверх, трёхчлен неотрицателен вне интервала между корнями:

$$t\leq\dfrac19\quad\text{или}\quad t\geq 3.$$

Возвращаемся к $u$. Основание $3$ больше единицы, функция $3^u$ возрастает: $3^u\leq\dfrac19=3^{-2}\Leftrightarrow u\leq -2$; $3^u\geq 3\Leftrightarrow u\geq 1$.

Первый случай, $u\leq -2$:

$$-x^2+4x-2\leq -2\ \Longleftrightarrow\ -x^2+4x\leq 0\ \Longleftrightarrow\ x(x-4)\geq 0.$$

Произведение неотрицательно, когда множители одного знака или один из них ноль: $x\leq 0$ или $x\geq 4$.

Второй случай, $u\geq 1$:

$$-x^2+4x-2\geq 1\ \Longleftrightarrow\ x^2-4x+3\leq 0\ \Longleftrightarrow\ (x-1)(x-3)\leq 0,$$

откуда $1\leq x\leq 3$.

Исходное неравенство выполнено, если выполнен хотя бы один из случаев, поэтому решения объединяем: $x\leq 0$, $1\leq x\leq 3$ или $x\geq 4$.

Проверим себя. При $x=2$ показатель $u=-4+8-2=2$, $t=9$: $9\cdot 81-28\cdot 9+3=480\geq 0$ — верно. При $x=0{,}5$: $u=-0{,}25$, $t=3^{-0{,}25}\approx 0{,}76$, и $9t^2-28t+3\approx 5{,}2-21{,}3+3\lt 0$ — точка не входит, как и должно быть. При $x=0$: $u=-2$, $t=\dfrac19$, $9\cdot\dfrac{1}{81}-\dfrac{28}{9}+3=\dfrac{1-28+27}{9}=0$ — граница входит.