Раскладываем числитель. Здесь 15^x=3^x\cdot 5^x, 3^{x+1}=3\cdot 3^x, 5^{x+1}=5\cdot 5^x. Группируем: 3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(3^x-5)(5^x-3).

Знаменатель: -x^2+2x=-x(x-2)=x(2-x). ОДЗ: x\ne 0 и x\ne 2.

Неравенство: \dfrac{(3^x-5)(5^x-3)}{x(2-x)}\ge 0. Рационализируем показательные множители: 3^x-5 обращается в ноль при x=\log_3 5 и по знаку совпадает с x-\log_3 5; 5^x-3 — с x-\log_5 3. Помним: \log_5 3\approx 0{,}68 и \log_3 5\approx 1{,}46.

Заменяем множители на линейные того же знака и переписываем знаменатель как -x(x-2): получаем \dfrac{(x-\log_3 5)(x-\log_5 3)}{-x(x-2)}\ge 0, то есть \dfrac{(x-\log_3 5)(x-\log_5 3)}{x(x-2)}\le 0.

Метод интервалов по точкам 0, \log_5 3, \log_3 5, 2 (нули знаменателя выколоты, нули числителя закрашены). Знаки слева направо: +,-,+,-,+. Неположительно на 0</p><p>Ответ:(0; \log_5 3]\cup[\log_3 5; 2). Проверим серединуx=1(между корнями числителя): в числителе(3-5)(5-3)=(-2)(2)=-4<0, знаменатель1\cdot 1=1>0, дробь отрицательна — а нам нужно\ge 0, значит точка не входит, что согласуется с ответом. Концыx=\log_5 3иx=\log_3 5$ дают ноль в числителе — входят. Всё сходится.