Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022349

Раскладываем числитель. Здесь $15^x=3^x\cdot 5^x$, $3^{x+1}=3\cdot 3^x$, $5^{x+1}=5\cdot 5^x$. Группируем: $3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(3^x-5)(5^x-3)$.

Знаменатель: $-x^2+2x=-x(x-2)=x(2-x)$. ОДЗ: $x\ne 0$ и $x\ne 2$.

Неравенство: $\dfrac{(3^x-5)(5^x-3)}{x(2-x)}\ge 0$. Рационализируем показательные множители: $3^x-5$ обращается в ноль при $x=\log_3 5$ и по знаку совпадает с $x-\log_3 5$; $5^x-3$ — с $x-\log_5 3$. Помним: $\log_5 3\approx 0{,}68$ и $\log_3 5\approx 1{,}46$.

Заменяем множители на линейные того же знака и переписываем знаменатель как $-x(x-2)$: получаем $\dfrac{(x-\log_3 5)(x-\log_5 3)}{-x(x-2)}\ge 0$, то есть $\dfrac{(x-\log_3 5)(x-\log_5 3)}{x(x-2)}\le 0$.

Метод интервалов по точкам $0$, $\log_5 3$, $\log_3 5$, $2$ (нули знаменателя выколоты, нули числителя закрашены). Знаки слева направо: $+,-,+,-,+$. Неположительно на $0</p><p>Ответ:$(0; \log_5 3]\cup[\log_3 5; 2)$. Проверим середину$x=1$(между корнями числителя): в числителе$(3-5)(5-3)=(-2)(2)=-4<0$, знаменатель$1\cdot 1=1>0$, дробь отрицательна — а нам нужно$\ge 0$, значит точка не входит, что согласуется с ответом. Концы$x=\log_5 3$и$x=\log_3 5$ дают ноль в числителе — входят. Всё сходится.