Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043752

Знаменатель $\sqrt{x-9}+2$ всегда положителен (корень неотрицателен, плюс $2$). Значит, на него можно спокойно умножить, не меняя знак неравенства.

ОДЗ. $x+9\ge0$ и $x-9\ge0$, то есть $x\ge9$.

Умножаем на знаменатель.

$$\sqrt{x+9}-2\gt(\sqrt{x-9}-2)(\sqrt{x-9}+2).$$

Справа разность квадратов: $(x-9)-4=x-13$. Получаем

$$\sqrt{x+9}\gt x-11.$$

Случай $9\le x\lt11$. Правая часть отрицательна, левая неотрицательна — неравенство выполнено.

Случай $x\ge11$. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$$x+9\gt(x-11)^2=x^2-22x+121\ \Longleftrightarrow\ x^2-23x+112\lt0.$$

$D=529-448=81$, корни $x=\dfrac{23\pm9}{2}$: $16$ и $7$. Неравенство выполнено при $7\lt x\lt16$; с условием $x\ge11$ — при $11\le x\lt16$.

Объединяем случаи: $9\le x\lt16$.

Проверим себя на $x=16$: слева $\dfrac{5-2}{\sqrt7+2}=\dfrac{3}{\sqrt7+2}$, справа $\sqrt7-2$. Умножив, получим $3$ и $(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=3$ — равенство, строгое неравенство не выполнено, $16$ не входит. На $x=9$: слева $\dfrac{\sqrt{18}-2}{2}\approx1{,}12$, справа $-2$ — верно.