Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043731

Выражение $\sqrt{x^2-7}$ стоит в неравенстве дважды. Удобно заменить его одной буквой и решить неравенство попроще, а потом вернуться к $x$.

Замена. Пусть $t=\sqrt{x^2-7}$. Корень неотрицателен, поэтому $t\ge0$. Кроме того, знаменатель $5-t$ не должен быть нулём: $t\neq5$.

Неравенство принимает вид

$$t\lt1+\dfrac{4}{5-t}.$$

Умножать на $5-t$ нельзя — мы не знаем его знак. Поэтому перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

$$t-1-\dfrac{4}{5-t}\lt0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(t-1)(5-t)-4}{5-t}\lt0.$$

Раскроем числитель: $(t-1)(5-t)=5t-t^2-5+t=-t^2+6t-5$, и ещё минус $4$:

$$-t^2+6t-9=-(t^2-6t+9)=-(t-3)^2.$$

Неравенство:

$$\dfrac{-(t-3)^2}{5-t}\lt0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(t-3)^2}{5-t}\gt0.$$

Квадрат $(t-3)^2$ положителен при всех $t\neq3$ и равен нулю при $t=3$. Неравенство строгое, поэтому $t=3$ не подходит. При $t\neq3$ дробь положительна ровно тогда, когда $5-t\gt0$, то есть $t\lt5$.

Итак, $0\le t\lt5$ и $t\neq3$.

Возвращаемся к $x$. $t^2=x^2-7$, и для неотрицательных чисел $t\lt5\Leftrightarrow t^2\lt25$:

$$0\le x^2-7\lt25\ \Longleftrightarrow\ 7\le x^2\lt32.$$

Условие $t\neq3$ означает $x^2-7\neq9$, то есть $x^2\neq16$, $x\neq\pm4$.

$7\le x^2\lt32$ даёт $\sqrt7\le|x|\lt\sqrt{32}=4\sqrt2$. Выкалываем $|x|=4$ (оно лежит внутри, так как $\sqrt7\lt4\lt4\sqrt2$).

Получаем $(-4\sqrt2;-4)\cup(-4;-\sqrt7]\cup[\sqrt7;4)\cup(4;4\sqrt2)$.

Проверим себя на краях. При $x=\sqrt7$: $t=0$, неравенство $0\lt1+\dfrac45$ — верно, край входит. При $x=4$: $t=3$, $3\lt1+\dfrac42=3$ — неверно (равенство), точка выколота правильно.