Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043751

Слева дробь с корнями, справа сумма с корнем. Заметим, что знаменатель слева и правая часть — «сопряжённые» выражения $\sqrt{x-5}-4$ и $\sqrt{x-5}+4$, их произведение — разность квадратов. Это и используем.

ОДЗ. $x+5\ge0$, $x-5\ge0$, знаменатель не ноль: $\sqrt{x-5}\neq4$, то есть $x\neq21$. Итого $x\ge5$, $x\neq21$.

Переносим всё влево.

$$\dfrac{\sqrt{x+5}+4-(\sqrt{x-5}+4)(\sqrt{x-5}-4)}{\sqrt{x-5}-4}\le0.$$

Разность квадратов: $(\sqrt{x-5}+4)(\sqrt{x-5}-4)=(x-5)-16=x-21$. Числитель:

$$\sqrt{x+5}+4-x+21=\sqrt{x+5}+25-x.$$

Пусть $w=\sqrt{x+5}\ge0$, тогда $x=w^2-5$ и числитель равен

$$w+25-w^2+5=-w^2+w+30=-(w^2-w-30)=-(w-6)(w+5).$$

Множитель $w+5$ всегда положителен, поэтому знак числителя совпадает со знаком $6-w$. $w=6$ при $x+5=36$, то есть $x=31$; числитель положителен при $x\lt31$ и отрицателен при $x\gt31$.

Знаменатель $\sqrt{x-5}-4$ отрицателен при $x\lt21$ и положителен при $x\gt21$.

Знак дроби.

$5\le x\lt21$: числитель $+$, знаменатель $-$ — дробь отрицательна, подходит.

$21\lt x\lt31$: оба положительны — не подходит.

$x=31$: числитель ноль — подходит.

$x\gt31$: числитель $-$, знаменатель $+$ — подходит.

Получаем $[5;21)\cup[31;+\infty)$.

Проверим себя на $x=5$: слева $\dfrac{\sqrt{10}+4}{-4}\lt0$, справа $4$ — верно. На $x=30$: слева $\dfrac{\sqrt{35}+4}{\sqrt{25}-4}=\sqrt{35}+4\approx9{,}92$, справа $5+4=9$ — неверно, $30$ в ответ не входит.