Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043732

В неравенстве дважды встречается $\sqrt{x^2-5}$. Заменим его буквой, решим неравенство для неё, а потом вернёмся к $x$.

Замена. $t=\sqrt{x^2-5}$, $t\ge0$. Знаменатель $1-t$ не равен нулю: $t\neq1$.

$$t\gt3+\dfrac{1}{1-t}.$$

Знаменатель $1-t$ меняет знак при $t=1$, поэтому домножать на него нельзя. Переносим всё влево:

$$\dfrac{(t-3)(1-t)-1}{1-t}\gt0.$$

Числитель: $(t-3)(1-t)=t-t^2-3+3t=-t^2+4t-3$, минус $1$:

$$-t^2+4t-4=-(t^2-4t+4)=-(t-2)^2.$$

Знаменатель перепишем как $1-t=-(t-1)$. Два минуса дают плюс:

$$\dfrac{-(t-2)^2}{-(t-1)}\gt0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(t-2)^2}{t-1}\gt0.$$

Числитель неотрицателен и обращается в ноль только при $t=2$; там дробь равна нулю, а нужно строго больше нуля, поэтому $t\neq2$. В остальных точках дробь положительна, когда $t-1\gt0$.

Итак, $t\gt1$ и $t\neq2$.

Обратно к $x$. $t\gt1$ означает $\sqrt{x^2-5}\gt1$, то есть $x^2-5\gt1$, $x^2\gt6$. Это условие сильнее, чем $x^2-5\ge0$, так что отдельно ОДЗ учитывать уже не нужно.

$t\neq2$ означает $x^2-5\neq4$, $x^2\neq9$, $x\neq\pm3$. Обе точки удовлетворяют $x^2\gt6$, поэтому их выкалываем.

$x^2\gt6$: $x\lt-\sqrt6$ или $x\gt\sqrt6$. Убираем $\pm3$.

Получаем $(-\infty;-3)\cup(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3)\cup(3;+\infty)$.

Проверим себя на $x=3$: $t=2$, правая часть $3+\dfrac{1}{1-2}=2$, а левая $2$ — равенство, строгое неравенство не выполнено. На $x=10$: $t=\sqrt{95}\approx9{,}75$, правая часть $3+\dfrac{1}{-8{,}75}\approx2{,}89$, неравенство верно.